Deseja-se construir um prédio com m andares. O custo do terreno é $ 1.000.000,00 e o custo de cada andar é $ 25.000 + 1.000 \mathrm{~m}(m=1,2,3 ···)$. Quantos andares devem ser construídos para minimizar o custo por andar?

Passo 1

A questão quer saber quantos andares m devem ser construídos para minimizar o custo médio por andar. O custo do terreno é R$ 1 000 000 e cada andar, dependendo de m, custa R$ (25 000 + 1000 m). O conteúdo envolve otimização de uma função discreta (custos) e usaremos cálculo para achar o mínimo em m contínuo e depois ajustamos para m inteiro.

Passo 2

Vamos chamar de C_total(m) o custo total e f(m) o custo médio por andar. Então temos
Ctotal(m)=1 000 000 + ml(25 000 + 1000,mr)
e o custo médio por andar é
f(m)=Ctotal(m)m=1 000 000m + 25 000 + 1000,m

Passo 3

Para achar o mínimo em m contínuo, derivamos f(m) em relação a m e igualamos zero. A derivada é
f'(m)=-1 000 000m^2 + 1000
Igualando a zero para achar o ponto crítico:
-1 000 000m^2 + 1000 = 0
temos
1000 = 1 000 000m^2 Rightarrow m^2 = 1 000 0001000 = 1000 Rightarrow m=raiz1000approx31,62

Passo 4

Como m deve ser inteiro, testamos m=31, m=32 e até m=33 no custo médio f(m). Os valores aproximados são: f(31)≈88 258,06; f(32)=88 250; f(33)≈88 303,03. O menor está em m=32.

Resposta

32 andares

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