Considere as funções f(x)=x^{2} e g(x)=3 x+2. Encontre:
(f \circ g)(x)

Passo 1

O enunciado fornece as funções \,f(x)=x^{2}\, e \,g(x)=3x+2\, e pede para encontrar a composição \,(f\circ g)(x).
Informações relevantes:
  • Função f dada por \,f(x)=x^{2}\,.
  • Função g dada por \,g(x)=3x+2\,.
  • Objetivo: calcular \,(f\circ g)(x), isto é, a função que aplica g e em seguida f.

Passo 2

Definição e ideia: a composição \,(f\circ g)(x)\, é definida por
(f\circ g)(x)=f\bigl(g(x)\bigr).
Em palavras, primeiro calcula-se g(x) e depois aplica-se f ao resultado. É como colocar a saída de g dentro de f.

Passo 3

Aplicando a definição com as funções dadas: como f(t)=t^{2} para uma variável genérica t, ao substituir t=g(x) obtemos
(f\circ g)(x)=\bigl(g(x)\bigr)^{2}.
E como g(x)=3x+2, temos
(f\circ g)(x)=(3x+2)^{2}.

Passo 4

Para transformar (3x+2)^{2} numa forma polinomial expandida, usamos a identidade de quadrado de binômio:
(a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2},
onde a e b são quaisquer expressões.

Passo 5

Identificando a=3x e b=2, calculamos cada termo:
a^{2}=(3x)^{2}=9x^{2},
2ab=2\cdot(3x)\cdot 2=12x,
b^{2}=2^{2}=4.

Passo 6

Somando os termos do binômio:
(3x+2)^{2}=9x^{2}+12x+4.
Portanto a composição é o polinômio acima. Observação rápida: como são polinômios, o domínio natural é todos os reais \mathbb{R}.

Passo 7

Verificação rápida (checar com um valor): para x=1 tem-se g(1)=3\cdot1+2=5 e f(g(1))=5^{2}=25. Substituindo x=1 na expressão obtida dá 9\cdot1^{2}+12\cdot1+4=9+12+4=25, confirma que está correto.

Resposta

(f\circ g)(x)=9x^{2}+12x+4

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