Uma empresa usa um furgão para entregar seus produtos. Para estimar os custos, o gerente modela o consumo de combustível do veículo usando a função
litros/quilômetro, supondo que o furgão trafega a uma velocidade constante de
quilômetros por hora, para
. O motorista recebe
por hora para dirigir o caminhão por 250 quilômetros e o preço do litro de combustível é
4,00.
b) Qual é a taxa de variação do custo
com
quando o caminhão está a 40 quilômetros por hora? A essa velocidade, o custo aumenta ou diminui quando a velocidade aumenta?
b) Qual é a taxa de variação do custo
Passo 1
Então, temos um problema onde uma empresa quer descobrir como o custo total das entregas muda quando a velocidade do furgão muda. Isso envolve conceitos de funções, taxa de variação e derivadas, que são partes da matéria de Cálculo. Para resolver, vamos precisar usar a função de consumo de combustível
, considerar o pagamento ao motorista e o preço do combustível para montar a função do custo total
.
Passo 2
Primeiro, vamos entender quais componentes entram no custo total
. O custo inclui:
- Pagamento ao motorista: O motorista ganha R$20,00 por hora.
- Custo do combustível: O preço do litro de combustível é R$4,00.
Como o furgão precisa percorrer 250 quilômetros, vamos calcular quanto tempo ele leva e quanto combustível ele consome nesse percurso.
Passo 3
Calculando o tempo de viagem:
A velocidade do furgão é
km/h, então o tempo (
) para percorrer 250 km é:
Calculando o consumo de combustível:
A função de consumo de combustível é:
Para os 250 km da viagem, o consumo total de combustível (
) é:
Passo 4
Calculando o custo com o motorista:
O motorista recebe R$20,00 por hora, então o custo (
) é:
Calculando o custo com o combustível:
O combustível custa R$4,00 por litro, então o custo (
) é:
Passo 5
Montando a função do custo total
:
Passo 6
Calculando a taxa de variação do custo
em relação a
:
Para encontrar como o custo muda quando a velocidade muda, precisamos derivar
em relação a
.
Passo 7
Avaliando a derivada em
km/h:
Resposta
A taxa de variação do custo
quando o caminhão está a 40 km/h é
reais por km/h. Isso significa que, a essa velocidade, se a velocidade aumentar, o custo total diminui.