Uma empresa usa um furgão para entregar seus produtos. Para estimar os custos, o gerente modela o consumo de combustível do veículo usando a função
L(x)=1250(1.200x+x)
litros/quilômetro, supondo que o furgão trafega a uma velocidade constante de x quilômetros por hora, para x >= 5. O motorista recebe R por hora para dirigir o caminhão por 250 quilômetros e o preço do litro de combustível é por hora para dirigir o caminhão por 250 quilômetros e o preço do litro de combustível é 4,00.
b) Qual é a taxa de variação do custo com C(x) quando o caminhão está a 40 quilômetros por hora? A essa velocidade, o custo aumenta ou diminui quando a velocidade aumenta?

Passo 1

Então, temos um problema onde uma empresa quer descobrir como o custo total das entregas muda quando a velocidade do furgão muda. Isso envolve conceitos de funções, taxa de variação e derivadas, que são partes da matéria de Cálculo. Para resolver, vamos precisar usar a função de consumo de combustível L(x), considerar o pagamento ao motorista e o preço do combustível para montar a função do custo total C(x).

Passo 2

Primeiro, vamos entender quais componentes entram no custo total C(x). O custo inclui:
  1. Pagamento ao motorista: O motorista ganha R$20,00 por hora.
  2. Custo do combustível: O preço do litro de combustível é R$4,00.
Como o furgão precisa percorrer 250 quilômetros, vamos calcular quanto tempo ele leva e quanto combustível ele consome nesse percurso.

Passo 3

Calculando o tempo de viagem:
A velocidade do furgão é x km/h, então o tempo ( T) para percorrer 250 km é:
T = 250x horas
Calculando o consumo de combustível:
A função de consumo de combustível é:
L(x) = 1250(1200x + x) litros/km
Para os 250 km da viagem, o consumo total de combustível ( F) é:
F = L(x) times 250 = (1200x + x) litros

Passo 4

Calculando o custo com o motorista:
O motorista recebe R$20,00 por hora, então o custo ( 20,00 por hora, então o custo () é:
) é:
Calculando o custo com o combustível:
O combustível custa R$4,00 por litro, então o custo ( Cmotorista = 20 times T = 20 times 250x = 5000x reais í) é:
**Calculando o custo com o combustível:** O combustível custa Rí

Passo 5

Montando a função do custo total C(x):
C(x) = Cmotorista + Ccombustível = 5000x + 4800x + 4x = 9800x + 4x í

Passo 6

Calculando a taxa de variação do custo C(x) em relação a x:
Para encontrar como o custo muda quando a velocidade muda, precisamos derivar C(x) em relação a x.
C'(x) = ddx(9800x + 4x) = -9800x^2 + 4

Passo 7

Avaliando a derivada em x = 40 km/h:
C'(40) = -980040^2 + 4 = -98001600 + 4 = -6,125 + 4 = -2,125 reais por km/h

Resposta

A taxa de variação do custo C(x) quando o caminhão está a 40 km/h é -2,125 reais por km/h. Isso significa que, a essa velocidade, se a velocidade aumentar, o custo total diminui.

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