Uma empresa de usinagem utiliza capital ( K ) e trabalho ( L ) em seu processo produtivo. A função de produção é representada por
q=K^{0,5} L^{0,5}
(a) Calcule os produtos marginais de capital \left(M P_{K}\right) e trabalho \left(M P_{L}\right).
(b) Derive a Taxa Marginal de Substituição Técnica (TMST) e interprete economicamente.
(c) Verifique se a função de produção apresenta retornos constantes de escala e discuta o significado para o processo industrial.
Passo 1
O enunciado dá a função de produção e pede três coisas claras. Vou listar o que está dado e o que precisa ser encontrado.
Dado:
A função de produção é q = K^{0,5} L^{0,5}.
Aqui q é a quantidade produzida, K é o insumo capital e L é o insumo trabalho.
Perguntas:
(a) Calcular os produtos marginais de capital e de trabalho, isto é \,MP_{K} e \,MP_{L}.
(b) Derivar a Taxa Marginal de Substituição Técnica (TMST) e interpretar economicamente o resultado.
(c) Verificar se a função apresenta retornos constantes, crescentes ou decrescentes de escala e discutir o significado industrial.
Passo 2
Entendendo o que são produtos marginais e como calcular: o produto marginal de um insumo é a derivada parcial da produção em relação a esse insumo, mantendo o outro insumo fixo. Em termos práticos:
MP_{K} = \dfrac{\partial q}{\partial K} é quanto q aumenta quando aumentamos K infinitesimalmente, com L constante.
MP_{L} = \dfrac{\partial q}{\partial L} é quanto q aumenta quando aumentamos L infinitesimalmente, com K constante.
Para derivar usamos a regra da potência: se f(x)=x^{a}, então \dfrac{df}{dx}=a x^{a-1}. Aqui aplicamos isso a cada variável, tratando a outra como constante.
Comentário didático final sobre (a): em palavras, MP_{K} diz que quanto mais capital já houver (maior K), menor será o ganho adicional por aumentar mais capital (porque aparece K^{-0,5}): há efeito decrescente do capital marginal. O mesmo vale para MP_{L} em relação a L.
Passo 3
Definindo a TMST: a Taxa Marginal de Substituição Técnica entre trabalho e capital (TMST, às vezes escrita \text{TMST}_{LK}) mede quantas unidades de capital podem ser reduzidas mantendo q constante quando se aumenta L em uma unidade infinitesimal. Formalmente,
Explicação: em uma isoquanta (mesmo nível de produção), para compensar um pequeno aumento em L é preciso reduzir K. A razão entre os produtos marginais dá essa taxa de troca técnica (sem o sinal, normalmente se reporta \frac{MP_{L}}{MP_{K}} e o sinal negativo indica a inclinação).
A TMST igual a \dfrac{K}{L} significa que, no ponto onde a firma está com os insumos (K,L), um pequeno aumento relativo em L permite reduzir K na proporção \dfrac{K}{L} para manter q fixo.
Intuitivamente: se K é grande em relação a L (ou seja \dfrac{K}{L} grande), então cada pequena unidade extra de trabalho permite cortar bastante capital mantendo a produção; se L é grande em relação a K, \dfrac{K}{L} é pequena e cada unidade extra de trabalho permite cortar pouco capital.
Observe que \text{TMST}=\dfrac{K}{L} é decrescente quando aumentamos L mantendo K fixo: ao aumentar L relativamente, \dfrac{K}{L} diminui. Isso expressa a ideia de taxa marginal de substituição técnica decrescente — quanto mais se usa trabalho em relação ao capital, menor a quantidade de capital que se pode substituir por mais trabalho sem mudar q.
Exemplo numérico rápido para fixar: se K=9 e L=1, então \text{TMST}=9: um aumento infinitesimal em L permite reduzir muito capital. Se aumentarmos L para L=9 mantendo K=9, então \text{TMST}=1: agora cada aumento pequeno em L permite só reduzir pouco capital.
Passo 4
Retornos de escala: definição e verificação. Retornos de escala dizem como a produção muda quando multiplicamos todos os insumos por um mesmo fator t>0. Se
q(tK,tL)=t^{\lambda}q(K,L),
então
\lambda=1 indica retornos constantes de escala (RCE),
Portanto os expoentes somam 0,5+0,5=1 e obtemos q(tK,tL)=t\,q(K,L). Isso prova que a função tem retornos constantes de escala.
Interpretação industrial:
Retornos constantes de escala significam que dobrar todos os insumos (capital e trabalho) dobra a produção. Não há ganhos nem perdas percentuais na eficiência quando a firma escala seu tamanho.
Para a fábrica de usinagem, isso implica que ampliar a planta na mesma proporção de equipamentos e trabalhadores leva a produzir proporcionalmente mais — não há economia de escala (redução de custo médio por unidade) nem deseconomia de escala intrínseca neste modelo simples. Na prática, fatores como coordenação, gerenciamento, inovações tecnológicas ou limitações físicas podem gerar desvios, mas o modelo básico mostra neutralidade de escala.
Passo 5
Resumo didático e dicas para a prova:
Lembre-se: produto marginal = derivada parcial; aplique a regra da potência.
TMST = \dfrac{MP_{L}}{MP_{K}} e interpreta-se como inclinação da isoquanta (troca técnica entre insumos).
Para checar retornos de escala, some os expoentes na função tipo Cobb–Douglas; soma igual a 1 → retornos constantes.
Em exercícios numéricos, sempre faça um exemplo com números para checar a intuição (por exemplo, calcule MP e TMST em (K,L)=(4,1) só para ver os sinais e magnitudes).
Resposta
(a) MP_{K}=0,5\,K^{-0,5}L^{0,5}=0,5\left(\dfrac{L}{K}\right)^{1/2}\n
(a) MP_{L}=0,5\,K^{0,5}L^{-0,5}=0,5\left(\dfrac{K}{L}\right)^{1/2}\n
(b) \displaystyle \text{TMST}=\frac{MP_{L}}{MP_{K}}=\frac{K}{L}. Interpretação: é a taxa à qual capital pode ser reduzido por um aumento marginal de trabalho mantendo q constante; depende da razão K/L e é decrescente com L.\n
(c) A função apresenta retornos constantes de escala (pois 0{,}5+0{,}5=1; q(tK,tL)=t\,q(K,L)). Significado: escalar todos os insumos em t escala a produção em t (dobrar insumos dobra produção).