Em uma empresa que utiliza óleo de palma (azeite de dendê, \mu=0,085 \mathrm{~Pa} / \mathrm{s}, \rho=919 \mathrm{~kg} / \mathrm{m} 3 ) como matéria-prima, é necessário agitar o material por algum tempo antes de sua utilização, uma vez que durante o armazenamento pode haver solidificação de algumas frações lipídicas. Para essa aplicação, recomenda-se usar um impulsor do tip8 turbina com pás inclinadas (Hp/Da =0,125 ) operando com frequência rotacional de 140 rpm . Deseja-se projetar um tanque de agitaçăo cilíndrico encamisado com capacidade de 2000 L de óleo e que deverá ser construído de acordo com as configurações geométricas padrão.
Dimensione o tanque e determine a potência de agitação necessária.
P_{o}=N_{P o} N^{3} D a^{5} \rho

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: dimensionar geometricamente o tanque cilíndrico encamisado (capacidade de 2000 L) usando as configurações geométricas padrão e determinar a potência de agitação necessária para o impulsor especificado.
Informações fornecidas (pego do enunciado):
  • Volume de óleo: V=2000\\ \text{L}=2{,}0\\ \text{m}^3.
  • Fluido: óleo de palma com viscosidade dinâmica \mu=0{,}085\\ \mathrm{Pa\cdot s} e densidade \rho=919\\ \mathrm{kg/m^3}.
  • Tipo de impulsor: turbina de pás inclinadas (tip8) com razão geométrica H_p/D_a=0{,}125 (esta relação será comentada se necessária).
  • Frequência rotacional: 140\\ \text{rpm}.
  • Fórmula para potência recomendada:
P_{o}=N_{P_o}\,N^{3}D_a^{5}\rho
Onde N_{P_o} é o número de potência característico do impulsor, N é a velocidade angular em \text{s}^{-1} (rotações por segundo), D_a é o diâmetro do impulsor e \rho é a densidade do fluido.

Passo 2

Definir as configurações geométricas padrão que vamos usar (estas são regras usuais em projeto de tanques agitados; explico o porquê depois):
  • Altura útil do líquido H igual ao diâmetro do tanque D: H=D.
  • Diâmetro do impulsor D_a igual a um terço do diâmetro do tanque: D_a=\dfrac{D}{3}.
  • Afastamento do impulsor do fundo (clearance) C igual a \dfrac{D}{3}.
  • Quatro baffles verticais com largura b=\dfrac{D}{10} (padrão).
    Estas escolhas são práticas e muito utilizadas: H=D garante bom volume com mistura; D_a=D/3 é um compromisso entre eficiência hidráulica e espaço; C=D/3 evita zonas mortas junto ao fundo; 4 baffles evitam rotação do fluido (swirl).

Passo 3

Determinar o diâmetro do tanque D a partir do volume sabendo que V= área da base \times altura, com H=D.
A área da base é \dfrac{\pi D^{2}}{4}, então:
V=\frac{\pi D^{2}}{4}\,H=\frac{\pi D^{2}}{4}\,D=\frac{\pi}{4}D^{3}.
Isolando D:
D=\left(\frac{4V}{\pi}\right)^{1/3}.
Agora substituímos V=2{,}0\\ \mathrm{m^3}:
D=\left(\frac{4\cdot 2{,}0}{\pi}\right)^{1/3}=\left(\frac{8}{\pi}\right)^{1/3}.
Calculemos numericamente (mostro os passos):
\frac{8}{\pi}\approx 2{,}54648,\qquad D\approx 2{,}54648^{1/3}\approx 1{,}3657\\ \mathrm{m}.

Passo 4

Calcular as demais dimensões padrão relacionadas:
  • Altura útil do líquido:
H=D\approx 1{,}3657\\ \mathrm{m}.
  • Diâmetro do impulsor:
D_a=\frac{D}{3}\approx \frac{1{,}3657}{3}\approx 0{,}4552\\ \mathrm{m}.
  • Afastamento do fundo (clearance):
C=\frac{D}{3}\approx 0{,}4552\\ \mathrm{m}.
  • Largura de cada baffle:
b=\frac{D}{10}\approx 0{,}1366\\ \mathrm{m}.
  • Número de baffles: 4 (padrão).
Comentário amigável: esses números dão um tanque relativamente “baixo” (altura ≃ diâmetro), com um impulsor grande (≈45 cm) adequado para o volume de 2 m^3.

Passo 5

Converter a velocidade rotacional de rpm para rotações por segundo N (unidade SI usada na fórmula):
N=\frac{140\\ \text{rpm}}{60}=\frac{140}{60}\\ \mathrm{s^{-1}}\approx 2{,}3333\\ \mathrm{s^{-1}}.

Passo 6

Avaliar o regime de escoamento (Reynolds do agitador) para decidir se a expressão com N_{P_o} na forma usual (regime turbulento) é adequada e para escolher um valor plausível de N_{P_o}.
A definição prática do número de Reynolds para mistura é:
\mathrm{Re}=\frac{\rho N D_a^{2}}{\mu}.
Substituindo valores:
D_a^{2}\approx (0{,}4552)^2\approx 0{,}2072\\ \mathrm{m^2},
\rho N D_a^{2}=919\cdot 2{,}3333\cdot 0{,}2072\approx 444{,}7,
\mathrm{Re}\approx \frac{444{,}7}{0{,}085}\approx 5232.
Interpretação: \mathrm{Re}\approx 5{,}2\times 10^{3}. Em tanques agitados costuma-se distinguir regimes:
  • Laminar muito baixo: \mathrm{Re}\lesssim 10 (raríssimo em agitação industrial).
  • Região intermediária/transicional: algumas centenas a \sim 10^{4}.
  • Turbulento totalmente desenvolvido: \mathrm{Re}\gtrsim 10^{4}.
Aqui estamos na faixa intermediária/transicional (ordem de 10^{3}), então o número de potência N_{P_o} depende do tipo de impelidor e do regime. A fórmula fornecida \;P_o=N_{P_o}N^{3}D_a^{5}\rho\; é a forma clássica em regime turbulento onde N_{P_o} é aproximadamente constante para um dado impulsor. Em regime transicional N_{P_o} pode variar com \mathrm{Re}, mas para projeto prático usa-se frequentemente o valor de N_{P_o} característico do impulsor (tabela) e, se necessário, aplica-se fator de correção. Como o enunciado não traz N_{P_o}, vamos adotar um valor típico para turbinas de pás inclinadas.

Passo 7

Escolha do número de potência N_{P_o} (justificativa):
  • Para turbinas de pás inclinadas (pitched-blade turbines, pás inclinadas para gerar fluxo axial), valores típicos tabulados do número de potência vão de aproximadamente 0{,}8 até 1{,}3 dependendo do ângulo das pás e do número de pás. Uma turbina com muitas pás inclinadas (8 pás) tende a ter N_{P_o} na faixa superior dessa escala.
  • Como aproximação razoável e conservadora para projeto preliminar escolho N_{P_o}=1{,}1. Se preferir um valor mais conservador, pode-se usar N_{P_o}=1{,}3; se houver tabela específica do fabricante use-a.
Vou calcular a potência com N_{P_o}=1{,}1 e comentar alternativas.

Passo 8

Calcular a potência usando a fórmula dada.
Primeiro calculamos N^{3} e D_a^{5}:
N^{3}=(2{,}3333)^{3}\approx 12{,}7037.
D_a^{5}=(0{,}4552)^{5}.
Faço D_a^{2}\approx 0{,}2072 e D_a^{3}\approx 0{,}09435, logo
D_a^{5}=D_a^{2}\cdot D_a^{3}\approx 0{,}2072\cdot 0{,}09435\approx 0{,}01954\\ \mathrm{m^5}.
Agora a potência:
P_{o}=N_{P_o}\,N^{3}D_a^{5}\rho=1{,}1\cdot 12{,}7037\cdot 0{,}01954\cdot 919.
Calcule passo a passo:
12{,}7037\cdot 0{,}01954\approx 0{,}2482,
0{,}2482\cdot 919\approx 228{,}12,
P_{o}\approx 1{,}1\cdot 228{,}12\approx 250{,}93\\ \mathrm{W}.
Arredondando: P_{o}\approx 251\\ \mathrm{W}.
Comentário sobre sensibilidade a N_{P_o}:
  • Se N_{P_o}=1{,}0\Rightarrow P\approx 228\\ \mathrm{W}.
  • Se N_{P_o}=1{,}3\Rightarrow P\approx 297\\ \mathrm{W}.

Passo 9

Recomendações práticas e seleção do motor:
  • Em projeto prático recomenda-se aplicar um coeficiente de segurança (fator de serviço) por perdas mecânicas, eficiência do motor, necessidade de aquecimento etc. Um fator típico é 1,5 a 2,0 para selecionar potência do motor.
  • Com P_{o}\approx 251\\ \mathrm{W}, multiplicando por 1,5 obtém-se \approx 377\\ \mathrm{W}; por 2,0 \approx 502\\ \mathrm{W}. Assim um motor comercial de 0,55 kW (550 W) ou 0,75 kW seria uma escolha razoável e prática. Eu recomendaria escolher um motor de 0,75 kW para margem segura e para cobrir eventuais subidas de viscosidade, arrasto extra da camisa, acoplamento, eficiência do redutor, etc.

Resposta

Diâmetro do tanque D\approx 1{,}366\\ \mathrm{m}
Altura útil do líquido H=D\approx 1{,}366\\ \mathrm{m}
Diâmetro do impulsor D_a\approx 0{,}455\\ \mathrm{m}
Afastamento do impulsor do fundo C\approx 0{,}455\\ \mathrm{m}
Largura de cada baffle b\approx 0{,}137\\ \mathrm{m} (4 baffles)
Potência de agitação estimada P_{o}\approx 251\\ \mathrm{W} (com N_{P_o}=1{,}1)
Sugestão prática: motor comercial entre 0{,}55\\ \mathrm{kW} e 0{,}75\\ \mathrm{kW} (recomendado 0{,}75\\ \mathrm{kW} para margem)

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