(ENA/PROFMAT-2024) Considere as seguintes afirmações sobre um número inteiro qualquer:
I. se
for par,então
é par.
II. se
é divisível por 4, então
é divisível por 4 .
III.
é par.
É correto o que se afirma em:
(a) I, apenas
(b) II, apenas
(c) I e III, apenas
(d) II e III, apenas
(e) I, II e III
I. se
II. se
III.
(a) I, apenas
(b) II, apenas
(c) I e III, apenas
(d) II e III, apenas
(e) I, II e III
Passo 1
O enunciado considera um número inteiro qualquer
e apresenta três afirmações. Precisamos decidir quais delas são verdadeiras entre as alternativas dadas.
As afirmações são:
- I. se
for par, então é par. - II. se
é divisível por , então é divisível por . - III.
é par.
Informação dada:
é um inteiro arbitrário.
Pedido: identificar quais das afirmações I, II, III são corretas e escolher a alternativa correta entre (a)–(e).
Pedido: identificar quais das afirmações I, II, III são corretas e escolher a alternativa correta entre (a)–(e).
Passo 2
Antes de provar ou refutar as afirmações, vamos fixar definições e propriedades básicas de paridade (isso ajuda a entender e fazer provas sem mistério).
Definições:
- Dizemos que um inteiro
é par se existe um inteiro tal que . - Dizemos que um inteiro
é ímpar se existe um inteiro tal que .
Propriedades úteis (fáceis de lembrar e usar na prova):
- O produto de um número par por qualquer inteiro é par.
- A soma ou diferença de dois inteiros pares é par.
- O produto de dois inteiros ímpares é ímpar.
- O produto de um inteiro par por um inteiro ímpar é par.
- Para qualquer inteiro
, os casos “par” e “ímpar” cobrem todas as possibilidades (ou é par, ou é ímpar).
Vou usar essas definições e propriedades para analisar cada afirmação, detalhando cada passo.
Passo 3
Prova da afirmação I: “se
for par, então
é par.”
Estratégia simples e direta: provar a contrapartida lógica (contrapositiva) ou provar diretamente que se
é ímpar então
é ímpar (o que equivale).
Prova por contrapositiva:
- Contrapositiva da afirmação I: “se
não é par (ou seja, é ímpar), então não é par (ou seja, é ímpar)”. Se a contrapositiva é verdadeira, a afirmação original é verdadeira. - Suponha
ímpar. Então existe inteiro tal que . - Calcule
:
- Note que
é número múltiplo de , portanto é par; somando obtemos um número ímpar. Assim é ímpar. - Portanto a contrapositiva é verdadeira, e assim a afirmação I é verdadeira: se
é par então é par.
Comentário didático: esse é um resultado clássico — a ideia é que quadrado de ímpar é sempre ímpar, logo só pode ocorrer
par se
for par.
Passo 4
Observação adicional (intuição extra, não necessária para a resposta): existe um fato geral de teoria dos números que diz que se um primo
divide
então
divide
. Aplicando com
(que é primo) obtém-se imediatamente que se
então
, ou seja, I é verdadeira. Mas para esta prova básica a argumentação por paridade do passo anterior já é suficiente.
Passo 5
Análise da afirmação II: "se
é divisível por
, então
é divisível por
".
Vou primeiro procurar um contraexemplo para ver se a afirmação é verdade para todos os inteiros; se existir qualquer contraexemplo a afirmação é falsa.
Escolha um candidato simples:
.
- Calcule
: . - Observação:
é divisível por (claro), então a hipótese da afirmação é satisfeita para . - Agora verifique a conclusão:
é divisível por ? Não — não é múltiplo de . - Conclusão:
é um contraexemplo que mostra que a afirmação II é falsa.
Explicação mais geral (para entendimento): se
então podemos deduzir que
(porque o primo
que aparece em
divide
já que
implica
). Assim
é necessariamente par; porém
pode ser somente
vezes um número ímpar, isto é,
com
ímpar. Para tais
temos
que é divisível por
embora
não seja divisível por
. Exemplo concreto:
dá
, nosso contraexemplo. Portanto II é falsa.
Passo 6
Prova da afirmação III: "
é par (para todo inteiro
)."
Há duas maneiras bem diretas e didáticas de ver isso: (A) analisar por casos (
par ou ímpar); (B) fatorar e usar propriedades de paridade. Vou mostrar as duas maneiras para consolidar o entendimento.
Método A — por casos:
- Caso 1:
é par. Então existe inteiro tal que . Então
que é múltiplo de
, logo é par.
- Caso 2:
é ímpar. Então existe inteiro tal que . Então
Colocando fator
:
que é múltiplo de
, logo par.
- Em ambos os casos o resultado é par. Portanto para todo inteiro
, é par. Assim III é verdadeira.
Método B — fatorando (mais curto e elegante):
- Observe que
Como
é ímpar, os números
e
têm paridades opostas: se
é par,
é ímpar; se
é ímpar,
é par. Então sempre um dos fatores
ou
é par, logo o produto
é par. Essa é uma explicação simples e direta.
Passo 7
Resumo das conclusões:
- I é verdadeira (provado no Passo 3).
- II é falsa (contraexemplo
no Passo 5). - III é verdadeira (provado no Passo 6).
Portanto as afirmações corretas são I e III apenas. A alternativa que corresponde a isso é a alternativa (c).
Força aí — você já segura a ideia: pensar por paridade em dois casos (par/ímpar) e buscar contraexemplos simples são técnicas que resolvem muitos exercícios assim.
Resposta
(c) I e III, apenas