(ENA/PROFMAT-2024) Considere as seguintes afirmações sobre um número inteiro qualquer:
I. se n^{2} for par,então n é par.
II. se n^{2} é divisível por 4, então n é divisível por 4 .
III. n^{2}+5 n é par.
É correto o que se afirma em:
(a) I, apenas
(b) II, apenas
(c) I e III, apenas
(d) II e III, apenas
(e) I, II e III

Passo 1

O enunciado considera um número inteiro qualquer n e apresenta três afirmações. Precisamos decidir quais delas são verdadeiras entre as alternativas dadas.
As afirmações são:
  • I. se n^{2} for par, então n é par.
  • II. se n^{2} é divisível por 4, então n é divisível por 4.
  • III. n^{2}+5n é par.
Informação dada: n é um inteiro arbitrário.
Pedido: identificar quais das afirmações I, II, III são corretas e escolher a alternativa correta entre (a)–(e).

Passo 2

Antes de provar ou refutar as afirmações, vamos fixar definições e propriedades básicas de paridade (isso ajuda a entender e fazer provas sem mistério).
Definições:
  • Dizemos que um inteiro n é par se existe um inteiro k tal que n=2k.
  • Dizemos que um inteiro n é ímpar se existe um inteiro k tal que n=2k+1.
Propriedades úteis (fáceis de lembrar e usar na prova):
  • O produto de um número par por qualquer inteiro é par.
  • A soma ou diferença de dois inteiros pares é par.
  • O produto de dois inteiros ímpares é ímpar.
  • O produto de um inteiro par por um inteiro ímpar é par.
  • Para qualquer inteiro n, os casos “par” e “ímpar” cobrem todas as possibilidades (ou n é par, ou n é ímpar).
Vou usar essas definições e propriedades para analisar cada afirmação, detalhando cada passo.

Passo 3

Prova da afirmação I: “se n^{2} for par, então n é par.”
Estratégia simples e direta: provar a contrapartida lógica (contrapositiva) ou provar diretamente que se n é ímpar então n^{2} é ímpar (o que equivale).
Prova por contrapositiva:
  • Contrapositiva da afirmação I: “se n não é par (ou seja, n é ímpar), então n^{2} não é par (ou seja, n^{2} é ímpar)”. Se a contrapositiva é verdadeira, a afirmação original é verdadeira.
  • Suponha n ímpar. Então existe inteiro k tal que n=2k+1.
  • Calcule n^{2}:
n^{2}=(2k+1)^{2}=4k^{2}+4k+1=4k(k+1)+1.
  • Note que 4k(k+1) é número múltiplo de 4, portanto é par; somando 1 obtemos um número ímpar. Assim n^{2} é ímpar.
  • Portanto a contrapositiva é verdadeira, e assim a afirmação I é verdadeira: se n^{2} é par então n é par.
Comentário didático: esse é um resultado clássico — a ideia é que quadrado de ímpar é sempre ímpar, logo só pode ocorrer n^{2} par se n for par.

Passo 4

Observação adicional (intuição extra, não necessária para a resposta): existe um fato geral de teoria dos números que diz que se um primo p divide n^{2} então p divide n. Aplicando com p=2 (que é primo) obtém-se imediatamente que se 2\mid n^{2} então 2\mid n, ou seja, I é verdadeira. Mas para esta prova básica a argumentação por paridade do passo anterior já é suficiente.

Passo 5

Análise da afirmação II: "se n^{2} é divisível por 4, então n é divisível por 4".
Vou primeiro procurar um contraexemplo para ver se a afirmação é verdade para todos os inteiros; se existir qualquer contraexemplo a afirmação é falsa.
Escolha um candidato simples: n=2.
  • Calcule n^{2}: n^{2}=2^{2}=4.
  • Observação: 4 é divisível por 4 (claro), então a hipótese da afirmação é satisfeita para n=2.
  • Agora verifique a conclusão: n=2 é divisível por 4? Não — 2 não é múltiplo de 4.
  • Conclusão: n=2 é um contraexemplo que mostra que a afirmação II é falsa.
Explicação mais geral (para entendimento): se 4\mid n^{2} então podemos deduzir que 2\mid n (porque o primo 2 que aparece em 4 divide n já que 2\mid n^{2} implica 2\mid n). Assim n é necessariamente par; porém n pode ser somente 2 vezes um número ímpar, isto é, n=2m com m ímpar. Para tais n temos
n^{2}=(2m)^{2}=4m^{2},
que é divisível por 4 embora n não seja divisível por 4. Exemplo concreto: m=1 n=2, nosso contraexemplo. Portanto II é falsa.

Passo 6

Prova da afirmação III: " n^{2}+5n é par (para todo inteiro n)."
Há duas maneiras bem diretas e didáticas de ver isso: (A) analisar por casos ( n par ou ímpar); (B) fatorar e usar propriedades de paridade. Vou mostrar as duas maneiras para consolidar o entendimento.
Método A — por casos:
  • Caso 1: n é par. Então existe inteiro k tal que n=2k. Então
n^{2}+5n=(2k)^{2}+5(2k)=4k^{2}+10k=2(2k^{2}+5k),
que é múltiplo de 2, logo é par.
  • Caso 2: n é ímpar. Então existe inteiro k tal que n=2k+1. Então
n^{2}+5n=(2k+1)^{2}+5(2k+1)=4k^{2}+4k+1+10k+5=4k^{2}+14k+6.
Colocando fator 2:
4k^{2}+14k+6=2(2k^{2}+7k+3),
que é múltiplo de 2, logo par.
  • Em ambos os casos o resultado é par. Portanto para todo inteiro n, n^{2}+5n é par. Assim III é verdadeira.
Método B — fatorando (mais curto e elegante):
  • Observe que
n^{2}+5n=n(n+5).
Como 5 é ímpar, os números n e n+5 têm paridades opostas: se n é par, n+5 é ímpar; se n é ímpar, n+5 é par. Então sempre um dos fatores n ou n+5 é par, logo o produto n(n+5) é par. Essa é uma explicação simples e direta.

Passo 7

Resumo das conclusões:
  • I é verdadeira (provado no Passo 3).
  • II é falsa (contraexemplo n=2 no Passo 5).
  • III é verdadeira (provado no Passo 6).
Portanto as afirmações corretas são I e III apenas. A alternativa que corresponde a isso é a alternativa (c).
Força aí — você já segura a ideia: pensar por paridade em dois casos (par/ímpar) e buscar contraexemplos simples são técnicas que resolvem muitos exercícios assim.

Resposta

(c) I e III, apenas

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