(UPE) Sejam
e
, respectivamente, os conjuntos dos número naturais, inteiros, racionais e reais. Assinale a única alternativa FALSA.
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
Passo 1
O enunciado dá os conjuntos
(naturais, inteiros, racionais e reais) e pede para assinalar a única alternativa FALSA entre as opções (a)–(e).
Vou listar claramente as alternativas (copiando-as mentalmente) e as informações relevantes que temos:
Vou listar claramente as alternativas (copiando-as mentalmente) e as informações relevantes que temos:
- Queremos comparar expressões com
(interseção), (união), (subconjunto) e (sobresconjunto). - Informações gerais (que usarei): todo número natural é inteiro; todo inteiro é racional; todo racional é real. Em símbolos:
O objetivo final é encontrar qual das alternativas é falsa.
Passo 2
Lembrete rápido sobre operações de conjuntos (com exemplos simples, para ficar claro):
- Interseção:
é o conjunto de elementos que estão em e em . Ex.: . - União:
é o conjunto de elementos que estão em ou em (ou em ambos). Ex.: . - Subconjunto:
significa que todo elemento de também pertence a . Ex.: . - Propriedade útil: se
então e .
Passo 3
Vou usar a cadeia de inclusões
para simplificar cada expressão nas alternativas. Isso é a base do raciocínio.
Passo 4
Analisando (a):
Como
, vale
. Agora:
Como
, vale
. Portanto as duas partes da igualdade são iguais a
, logo a igualdade da alternativa (a) é verdadeira.
Passo 5
Analisando (b):
A expressão do lado direito é
A expressão do lado direito é
Primeiro simplifico
. Como
, tem-se
Então o lado direito vira
Como
, tem
. Mas seja qual for a forma, a interseção com
satisfaz
Assim (b) afirma
Isto seria falso porque existem inteiros negativos: por exemplo
mas
. Portanto a afirmação (b) é falsa.
Passo 6
Analisando (c):
O lado direito é
O lado direito é
Note que
(pois
). Então
Mas
(já que
), e
, então a interseção com
deixa
:
A alternativa (c) afirma então
, o que é verdadeiro (inteiros são racionais).
Passo 7
Analisando (d):
O lado direito é
O lado direito é
Como
, tem
. Então o lado direito vira
Logo (d) afirma
, isto é,
contém
. Isso é verdadeiro.
Passo 8
Analisando (e):
O lado direito é
O lado direito é
Como
, tem
. Como
, tem
. Assim o lado direito é
A alternativa (e) afirma
, o que é verdadeiro (um conjunto contém a si mesmo).
Resposta
(b)