(UPE) Sejam \mathbb{N}, \mathbb{Z}, \mathbb{Q} e \mathbb{R}, respectivamente, os conjuntos dos número naturais, inteiros, racionais e reais. Assinale a única alternativa FALSA.
(a) \mathbb{N} \cap \mathbb{Z}=\mathbb{N} \cap \mathbb{Q}
(b) \mathbb{Z} \subset(\mathbb{N} \cup \mathbb{Q}) \cap(\mathbb{R} \cap \mathbb{N})
(c) \mathbb{Z} \subset(\mathbb{N} \cup \mathbb{Q}) \cap(\mathbb{R} \cup \mathbb{N})
(d) \mathbb{Q} \supset \mathbb{N} \cup(\mathbb{Z} \cap \mathbb{R})
(e) \mathbb{Z} \supset(\mathbb{N} \cap \mathbb{Z}) \cup(\mathbb{Z} \cap \mathbb{Q})

Passo 1

O enunciado dá os conjuntos \mathbb{N}, \mathbb{Z}, \mathbb{Q}, \mathbb{R} (naturais, inteiros, racionais e reais) e pede para assinalar a única alternativa FALSA entre as opções (a)–(e).
Vou listar claramente as alternativas (copiando-as mentalmente) e as informações relevantes que temos:
  • Queremos comparar expressões com \cap (interseção), \cup (união), \subset (subconjunto) e \supset (sobresconjunto).
  • Informações gerais (que usarei): todo número natural é inteiro; todo inteiro é racional; todo racional é real. Em símbolos: \mathbb{N}\subset\mathbb{Z}\subset\mathbb{Q}\subset\mathbb{R}.
O objetivo final é encontrar qual das alternativas é falsa.

Passo 2

Lembrete rápido sobre operações de conjuntos (com exemplos simples, para ficar claro):
  • Interseção: A\cap B é o conjunto de elementos que estão em A e em B. Ex.: \{1,2\}\cap\{2,3\}=\{2\}.
  • União: A\cup B é o conjunto de elementos que estão em A ou em B (ou em ambos). Ex.: \{1,2\}\cup\{2,3\}=\{1,2,3\}.
  • Subconjunto: A\subset B significa que todo elemento de A também pertence a B. Ex.: \{1\}\subset\{1,2\}.
  • Propriedade útil: se A\subset B então A\cap B = A e A\cup B = B.

Passo 3

Vou usar a cadeia de inclusões \mathbb{N}\subset\mathbb{Z}\subset\mathbb{Q}\subset\mathbb{R} para simplificar cada expressão nas alternativas. Isso é a base do raciocínio.

Passo 4

Analisando (a):
\mathbb{N}\cap\mathbb{Z}.
Como \mathbb{N}\subset\mathbb{Z}, vale \mathbb{N}\cap\mathbb{Z}=\mathbb{N}. Agora:
\mathbb{N}\cap\mathbb{Q}.
Como \mathbb{N}\subset\mathbb{Q}, vale \mathbb{N}\cap\mathbb{Q}=\mathbb{N}. Portanto as duas partes da igualdade são iguais a \mathbb{N}, logo a igualdade da alternativa (a) é verdadeira.

Passo 5

Analisando (b):
A expressão do lado direito é
(\mathbb{N}\cup\mathbb{Q})\cap(\mathbb{R}\cap\mathbb{N}).
Primeiro simplifico \mathbb{R}\cap\mathbb{N}. Como \mathbb{N}\subset\mathbb{R}, tem-se
\mathbb{R}\cap\mathbb{N}=\mathbb{N}.
Então o lado direito vira
(\mathbb{N}\cup\mathbb{Q})\cap\mathbb{N}.
Como \mathbb{N}\subset\mathbb{Q}, tem \mathbb{N}\cup\mathbb{Q}=\mathbb{Q}. Mas seja qual for a forma, a interseção com \mathbb{N} satisfaz
(\mathbb{N}\cup\mathbb{Q})\cap\mathbb{N}=\mathbb{N}.
Assim (b) afirma
\mathbb{Z}\subset\mathbb{N}.
Isto seria falso porque existem inteiros negativos: por exemplo -1\in\mathbb{Z} mas -1\notin\mathbb{N}. Portanto a afirmação (b) é falsa.

Passo 6

Analisando (c):
O lado direito é
(\mathbb{N}\cup\mathbb{Q})\cap(\mathbb{R}\cup\mathbb{N}).
Note que \mathbb{R}\cup\mathbb{N}=\mathbb{R} (pois \mathbb{N}\subset\mathbb{R}). Então
(\mathbb{N}\cup\mathbb{Q})\cap(\mathbb{R}\cup\mathbb{N})=(\mathbb{N}\cup\mathbb{Q})\cap\mathbb{R}.
Mas \mathbb{N}\cup\mathbb{Q}=\mathbb{Q} (já que \mathbb{N}\subset\mathbb{Q}), e \mathbb{Q}\subset\mathbb{R}, então a interseção com \mathbb{R} deixa \mathbb{Q}:
(\mathbb{N}\cup\mathbb{Q})\cap(\mathbb{R}\cup\mathbb{N})=\mathbb{Q}.
A alternativa (c) afirma então \mathbb{Z}\subset\mathbb{Q}, o que é verdadeiro (inteiros são racionais).

Passo 7

Analisando (d):
O lado direito é
\mathbb{N}\cup(\mathbb{Z}\cap\mathbb{R}).
Como \mathbb{Z}\subset\mathbb{R}, tem \mathbb{Z}\cap\mathbb{R}=\mathbb{Z}. Então o lado direito vira
\mathbb{N}\cup\mathbb{Z}=\mathbb{Z}.
Logo (d) afirma \mathbb{Q}\supset\mathbb{Z}, isto é, \mathbb{Q} contém \mathbb{Z}. Isso é verdadeiro.

Passo 8

Analisando (e):
O lado direito é
(\mathbb{N}\cap\mathbb{Z})\cup(\mathbb{Z}\cap\mathbb{Q}).
Como \mathbb{N}\subset\mathbb{Z}, tem \mathbb{N}\cap\mathbb{Z}=\mathbb{N}. Como \mathbb{Z}\subset\mathbb{Q}, tem \mathbb{Z}\cap\mathbb{Q}=\mathbb{Z}. Assim o lado direito é
\mathbb{N}\cup\mathbb{Z}=\mathbb{Z}.
A alternativa (e) afirma \mathbb{Z}\supset\mathbb{Z}, o que é verdadeiro (um conjunto contém a si mesmo).

Resposta

(b)

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