(FGV) Numa Universidade com N alunos, 80 estudam Física,90 Biologia, 55 Química, 32 Biologia e Física, 23 Química e Física, 16 biologia e Química e 8 estudam nas 3 faculdades.
Sabendo-se que esta Universidade somente mantém as 3 faculdades, quantos alunos estão matriculados na Universidade
(a) 304
(b) 162
(c) 146
(d) 154
(e) n.d.a

Passo 1

O enunciado dá os números de alunos matriculados em 3 cursos (apenas essas 3 faculdades existem na universidade) e pergunta quantos alunos há no total. Dados fornecidos:
  • 80 estudam Física.
  • 90 estudam Biologia.
  • 55 estudam Química.
  • 32 estudam Biologia e Física (interseção Biologia ∩ Física).
  • 23 estudam Química e Física (interseção Química ∩ Física).
  • 16 estudam Biologia e Química (interseção Biologia ∩ Química).
  • 8 estudam nas três faculdades (Biologia ∩ Física ∩ Química).
O que o problema pede: calcular o número total de alunos matriculados na universidade (ou seja, o número de alunos que cursam pelo menos uma das três faculdades).

Passo 2

Vamos explicar a ideia matemática que usamos: quando somamos o número de alunos de cada curso contamos algumas pessoas mais de uma vez (duas vezes se estão em duas listas, três vezes se aparecem nas três). Para compensar isso usamos o princípio da inclusão-exclusão para três conjuntos.
Primeiro, lembrando o caso com dois conjuntos A e B:
|A\cup B| = |A| + |B| - |A\cap B|.
Aqui subtrai-se |A\cap B| porque esses elementos foram contados duas vezes na soma |A|+|B|.
Para três conjuntos F (Física), B (Biologia) e Q (Química) a fórmula é:
|F\cup B\cup Q| = |F| + |B| + |Q| - |F\cap B| - |F\cap Q| - |B\cap Q| + |F\cap B\cap Q|.
Explicação do sinal final +: ao subtrair as três interseções de pares, os elementos que estão nas três faculdades foram subtraídos três vezes (uma em cada interseção de pares) depois de terem sido originalmente somados três vezes, então já ficaram contados zero vezes; por isso precisamos adicioná-los de volta uma vez, daí o +\\ |F\cap B\cap Q|.

Passo 3

Agora vamos aplicar a fórmula com os números dados (colocando cada número em TeX conforme pedido):
Somando os tamanhos individuais:
|F| + |B| + |Q| = 80 + 90 + 55 = 225.
Somando as interseções de pares:
|F\cap B| + |F\cap Q| + |B\cap Q| = 32 + 23 + 16 = 71.
A interseção tripla é:
|F\cap B\cap Q| = 8.

Passo 4

Aplicando a fórmula da inclusão-exclusão:
|F\cup B\cup Q| = 225 - 71 + 8.
Fazendo as contas:
225 - 71 = 154, \qquad 154 + 8 = 162.

Passo 5

Portanto o número total de alunos matriculados na universidade é 162, que corresponde à alternativa correta entre as dadas.

Resposta

(b) 162

Exercícios relacionados