Mostre que
\lim \left(1-\frac{1}{n}\right)^{n}=\frac{1}{e}
Dica: Observe que \frac{n-1}{n}=\frac{1}{\frac{n}{n-1}}.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que
\lim_{n\to\infty}\Bigl(1-\frac{1}{n}\Bigr)^{n} = \frac{1}{e}.
O conteúdo básico é a noção de limite de sequência e a propriedade clássica
\lim_{m\to\infty}\Bigl(1+\frac{1}{m}\Bigr)^{m} = e.
A dica sugere reescrever \frac{n-1}{n} como \bigl(\frac{n}{n-1}\bigr)^{-1} para aproveitar esse limite.

Passo 2

Começamos escrevendo
\Bigl(1-\frac{1}{n}\Bigr)^{n} = \Bigl(\frac{n-1}{n}\Bigr)^{n} = \Bigl(\frac{n}{n-1}\Bigr)^{-n} = \frac{1}{\displaystyle\Bigl(\frac{n}{n-1}\Bigr)^{n}}.

Passo 3

Observe que
\Bigl(\frac{n}{n-1}\Bigr)^{n} = \Bigl(1+\frac{1}{\,n-1\,}\Bigr)^{n} = \Bigl(1+\frac{1}{\,n-1\,}\Bigr)^{n-1}\,\Bigl(1+\frac{1}{\,n-1\,}\Bigr).
Logo,
\Bigl(1-\frac{1}{n}\Bigr)^{n} = \frac{1}{\displaystyle\Bigl(1+\frac{1}{\,n-1\,}\Bigr)^{n-1}\,\Bigl(1+\frac{1}{\,n-1\,}\Bigr)}.

Passo 4

Ao fazer n\to\infty, temos n-1\to\infty e então
\lim_{n\to\infty}\Bigl(1+\frac{1}{\,n-1\,}\Bigr)^{n-1} = e \quad\text{e}\quad \lim_{n\to\infty}\Bigl(1+\frac{1}{\,n-1\,}\Bigr) = 1.
Portanto,
\lim_{n\to\infty}\Bigl(1-\frac{1}{n}\Bigr)^{n} = \frac{1}{e\cdot 1} = \frac{1}{e}.

Resposta

\lim_{n\to\infty}\Bigl(1-\frac{1}{n}\Bigr)^{n} = \frac{1}{e}.

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