Encantrar F(t) da equaçáo integral
F(t)=4 t^2-integral0^t F(t-beta) e^-beta cdot d beta

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa encontrar a função $ F(t) $ que satisfaz a seguinte equação integral:
F(t)
Esse problema está dentro da matéria de equações integrais, mais especificamente, de equações de Volterra. Para resolver isso, vamos usar a Transformada de Laplace, uma ferramenta ótima para resolver equações diferenciais e integrais. Então, vamos precisar conhecer um pouquinho de Transformada de Laplace e suas propriedades.

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar a Transformada de Laplace em ambos os lados da equação. A Transformada de Laplace de uma função $ f(t) $ é definida por:
f(t)
Então, aplicando a transformada na equação original:
Lf(t) = integral0^infty e^-st f(t) , dt

Passo 3

Agora, vamos calcular cada termo separadamente. A Transformada de Laplace de $ 4 t^{2} $ é:
4 t^2

Passo 4

Para o termo integral, usamos uma propriedade importante da Transformada de Laplace para convoluções. A Transformada de Laplace da integral de convolução é o produto das transformadas de Laplace das funções envolvidas. Ou seja:
L integral0^t F(t-beta) e^-beta , dbeta = LF(t) cdot Le^-t
Sabemos que:
Le^-t = 1s+1

Passo 5

Vamos substituir tudo de volta na equação transformada:
LF(t) = 8s^3 - LF(t) cdot 1s+1
Agora, vamos chamar $ \mathcal{L}{F(t)} $ de $ F(s) $ para simplificar:
LF(t)

Passo 6

Vamos isolar $ F(s) $ na equação:
F(s)
Fatorando $ F(s) $:
F(s) + F(s) cdot 1s+1 = 8s^3
Simplificando o termo dentro do parêntese:
F(s)
Então:
F(s) (1 + 1s+1) = 8s^3

Passo 7

Agora, isolamos $ F(s) $:
F(s)
Vamos simplificar essa fração por decomposição em frações parciais para facilitar a aplicação da Transformada de Laplace inversa.

Passo 8

Realizando a decomposição em frações parciais:
s+1s^3(s+2) = As + Bs^2 + Cs^3 + Ds+2
Multiplicando ambos os lados por $ s^{3}(s+2) $:
s^3(s+2)
Agora, vamos encontrar os valores de $ A, B, C, D $ resolvendo para diferentes valores de $ s $ ou equacionando os coeficientes.

Passo 9

Por exemplo, substituindo $ s = 0 $:
s = 0
Substituindo $ s = -2 $:
0 + 1 = A cdot 0 + B cdot 0 + C cdot 2 + D cdot 0 Rightarrow C = 12
Agora, comparando os coeficientes dos termos em $ s^{3}, s^{2}, s $ e constante, podemos encontrar $ A $ e $ B $:
s = -2
Igualando os coeficientes:
  • $ s^{3} $: $ A + D = 0 \Rightarrow A = -\frac{1}{8} $
  • $ s^{2} $: $ 2A + B = 0 \Rightarrow B = \frac{1}{4} $
  • $ s $: $ 2B + C = 1 \Rightarrow \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1 $ (confirmação)
  • Constante: $ 2C = 1 $ (já encontrado $ C = \frac{1}{2} $)

Passo 10

Agora, substituindo os valores encontrados na decomposição:
s+1s^3(s+2) = -18 cdot 1s + 14 cdot 1s^2 + 12 cdot 1s^3 + 18 cdot 1s+2
Multiplicando por 8 para simplificar $ F(s) $:
F(s)

Passo 11

Agora, vamos aplicar a Transformada de Laplace inversa para encontrar $ F(t) $. Sabemos que:
F(t)
Então:
L^-1 1s = 1, L^-1 1s^2 = t, L^-1 1s^3 = t^22, L^-1 1s+2 = e^-2t

Resposta

A função $ F(t) $ que resolve a equação dada é:
F(t)

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