Encantrar
da equaçáo integral
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa encontrar a função $ F(t) $ que satisfaz a seguinte equação integral:
Esse problema está dentro da matéria de equações integrais, mais especificamente, de equações de Volterra. Para resolver isso, vamos usar a Transformada de Laplace, uma ferramenta ótima para resolver equações diferenciais e integrais. Então, vamos precisar conhecer um pouquinho de Transformada de Laplace e suas propriedades.
Passo 2
Primeiro, vamos aplicar a Transformada de Laplace em ambos os lados da equação. A Transformada de Laplace de uma função $ f(t) $ é definida por:
Então, aplicando a transformada na equação original:
Passo 3
Agora, vamos calcular cada termo separadamente. A Transformada de Laplace de $ 4 t^{2} $ é:
Passo 4
Para o termo integral, usamos uma propriedade importante da Transformada de Laplace para convoluções. A Transformada de Laplace da integral de convolução é o produto das transformadas de Laplace das funções envolvidas. Ou seja:
Sabemos que:
Passo 5
Vamos substituir tudo de volta na equação transformada:
Agora, vamos chamar $ \mathcal{L}{F(t)} $ de $ F(s) $ para simplificar:
Passo 6
Vamos isolar $ F(s) $ na equação:
Fatorando $ F(s) $:
Simplificando o termo dentro do parêntese:
Então:
Passo 7
Agora, isolamos $ F(s) $:
Vamos simplificar essa fração por decomposição em frações parciais para facilitar a aplicação da Transformada de Laplace inversa.
Passo 8
Realizando a decomposição em frações parciais:
Multiplicando ambos os lados por $ s^{3}(s+2) $:
Agora, vamos encontrar os valores de $ A, B, C, D $ resolvendo para diferentes valores de $ s $ ou equacionando os coeficientes.
Passo 9
Por exemplo, substituindo $ s = 0 $:
Substituindo $ s = -2 $:
Agora, comparando os coeficientes dos termos em $ s^{3}, s^{2}, s $ e constante, podemos encontrar $ A $ e $ B $:
Igualando os coeficientes:
- $ s^{3} $: $ A + D = 0 \Rightarrow A = -\frac{1}{8} $
- $ s^{2} $: $ 2A + B = 0 \Rightarrow B = \frac{1}{4} $
- $ s $: $ 2B + C = 1 \Rightarrow \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1 $ (confirmação)
- Constante: $ 2C = 1 $ (já encontrado $ C = \frac{1}{2} $)
Passo 10
Agora, substituindo os valores encontrados na decomposição:
Multiplicando por 8 para simplificar $ F(s) $:
Passo 11
Agora, vamos aplicar a Transformada de Laplace inversa para encontrar $ F(t) $. Sabemos que:
Então:
Resposta
A função $ F(t) $ que resolve a equação dada é: