As equações de Maxwell homogêneas relacionam o campo elétrico E e o campo magnético B, quando eles variam com o tempo em uma região no vácuo que não contenha carga nem corrente, como segue:
Lei de Gauss & nabla bul<=t E=0 Lei de Gauss para o magnetismo & nabla bul<=t B=0 Lei de Faraday & nabla times E=-partial Bpartial t Lei de Ampère-Maxwell & nabla times B=mu0 epsilon0 partial Epartial t è
onde mu0 e epsilon0 são, respectivamente, as constantes de permeabilidade e permissividade do vácuo.
Verifique substituindo diretamente nas equações que
E(t, x, y, z)=sin (x-c t) k B(t, x, y, z)=sin (x-c t) j
são exemplos de soluções particulares para as equações (você vai aprender a determinar a solução geral em EDB). Convença-se de que estas soluções descrevem ondas transversais propagando-se na direção do eixo x com velocidade c. A direção de oscilação de E é a direção do eixo z, enquanto que a direção de oscilação de B é a direção do eixo y.

Passo 1

Resumo do enunciado e conteúdo necessário: Temos as equações de Maxwell homogêneas em vácuo sem fontes (carga e corrente nulas) – Lei de Gauss para E, Lei de Gauss para B, Lei de Faraday e Lei de Ampère–Maxwell – e queremos verificar que
E(t,x,y,z)=sin(x−ct) k e B(t,x,y,z)=sin(x−ct) j
são soluções particulares dessas equações.

Passo 2

Cálculo de ∇·E e ∇·B: Como E tem só componente z e depende de x e t, temos
E=(0,0,sin(x-ct))
nablacdot E=partial Expartial x+partial Eypartial y+partial Ezpartial z=0+0+0=0
De modo análogo, B=(0,\sin(x-ct),0) dá
nablacdot B=0

Passo 3

Verificação da Lei de Faraday nablatimes E=-partial B/partial t: Primeiro o rotacional de E:
nablatimes E= partialy Ez-partialz Ey partialz Ex-partialx Ez partialx Ey-partialy Ex =0-cos(x-ct)0= -cos(x-ct),j
E a derivada temporal de B:
partialt B=partialtl(sin(x-ct)r),j=-ccos(x-ct),j,
logo
-partialt B=ccos(x-ct),j
Para fechar Faraday precisamos comparar
-cos(x-ct)=ccos(x-ct)implies c=-1
Mas, como veremos no passo seguinte, a consistência completa exige

Passo 4

Verificação da Lei de Ampère–Maxwell nablatimes B=mu0epsilon0partial E/partial t: Calculamos
nablatimes B= partialy Bz-partialz By partialz Bx-partialx Bz partialx By-partialy Bx =00cos(x-ct)=cos(x-ct),k,
e
partialt E=-ccos(x-ct),k
Logo
mu0epsilon0partialt E=-mu0epsilon0,ccos(x-ct),k
Para igualar componentes em k:
cos(x-ct)=-mu0epsilon0,ccos(x-ct)implies mu0epsilon0,c=-1
Combinar com a condição de Faraday leva a
c^2=1mu0epsilon0,
i.e. c=1/raizmu0epsilon0, que é justamente a velocidade da onda no vácuo.

Passo 5

Interpretação física como onda transversal: As duas soluções só dependem da combinação x-ct, típica de onda viajante. Isso mostra que elas se propagam ao longo do eixo x com velocidade c. Como E aponta sempre na direção z e B na direção y, ambos são perpendiculares à direção de propagação (x) e entre si, configurando uma onda transversal. No vácuo essa velocidade coincide com a luz, c=1/raizmu0epsilon0.

Resposta

As funções dadas satisfazem todas as equações de Maxwell homogêneas em vácuo desde que se tenha c^2=1/(mu0epsilon0). Elas descrevem ondas transversais viajando ao longo do eixo x com velocidade c, com o campo elétrico oscilando na direção z e o campo magnético oscilando na direção y.

Exercícios relacionados