As equações de Maxwell homogêneas relacionam o campo elétrico e o campo magnético , quando eles variam com o tempo em uma região no vácuo que não contenha carga nem corrente, como segue:
onde e são, respectivamente, as constantes de permeabilidade e permissividade do vácuo.
Verifique substituindo diretamente nas equações que
são exemplos de soluções particulares para as equações (você vai aprender a determinar a solução geral em EDB). Convença-se de que estas soluções descrevem ondas transversais propagando-se na direção do eixo com velocidade . A direção de oscilação de é a direção do eixo , enquanto que a direção de oscilação de é a direção do eixo .
Passo 1
Resumo do enunciado e conteúdo necessário: Temos as equações de Maxwell homogêneas em vácuo sem fontes (carga e corrente nulas) – Lei de Gauss para E, Lei de Gauss para B, Lei de Faraday e Lei de Ampère–Maxwell – e queremos verificar que
E(t,x,y,z)=sin(x−ct) k e B(t,x,y,z)=sin(x−ct) j
são soluções particulares dessas equações.
Passo 2
Cálculo de ∇·E e ∇·B: Como E tem só componente z e depende de x e t, temos
De modo análogo, B=(0,\sin(x-ct),0) dá
Passo 3
Verificação da Lei de Faraday : Primeiro o rotacional de E:
E a derivada temporal de B:
partialt B=partialtl(sin(x-ct)r),j=-ccos(x-ct),j,
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-partialt B=ccos(x-ct),j
Para fechar Faraday precisamos comparar
-cos(x-ct)=ccos(x-ct)implies c=-1
Mas, como veremos no passo seguinte, a consistência completa exige
Passo 4
Verificação da Lei de Ampère–Maxwell nablatimes B=mu0epsilon0partial E/partial t: Calculamos
i.e. c=1/raizmu0epsilon0, que é justamente a velocidade da onda no vácuo.
Passo 5
Interpretação física como onda transversal: As duas soluções só dependem da combinação x-ct, típica de onda viajante. Isso mostra que elas se propagam ao longo do eixo x com velocidade c. Como E aponta sempre na direção z e B na direção y, ambos são perpendiculares à direção de propagação (x) e entre si, configurando uma onda transversal. No vácuo essa velocidade coincide com a luz, c=1/raizmu0epsilon0.
Resposta
As funções dadas satisfazem todas as equações de Maxwell homogêneas em vácuo desde que se tenha c^2=1/(mu0epsilon0). Elas descrevem ondas transversais viajando ao longo do eixo x com velocidade c, com o campo elétrico oscilando na direção z e o campo magnético oscilando na direção y.