As equações de Maxwell homogêneas relacionam o campo elétrico E e o campo magnético B, quando eles variam com o tempo em uma região no vácuo que não contenha carga nem corrente, como segue:
Lei de Gauss & nabla bul<=t E=0 Lei de Gauss para o magnetismo & nabla bul<=t B=0 Lei de Faraday & nabla times E=-partial Bpartial t Lei de Ampère-Maxwell & nabla times B=mu0 epsilon0 partial Epartial t è
onde mu0 e epsilon0 são, respectivamente, as constantes de permeabilidade e permissividade do vácuo.
Seja F=P i+Q j+R k. Verifique que
rot(rot(F))=grad(div F)-nabla^2 F,
onde nabla^2 F:=nabla^2 P i+nabla^2 Q j+nabla^2 R k.

Passo 1

O enunciado pede para verificar a identidade vetorial

onde nablatimes(nablatimes F)=nabla(nablacdot F)-nabla^2 Fn. O conteúdo envolve as definições de divergente, gradiente, laplaciano e rotacional de campos vetoriais e a propriedade de cálculo das derivadas parciais que será usada para comparar cada componente.

Passo 2

Primeiro vamos lembrar as definições:
A divergente de F é
nablacdot F=partial Ppartial x+partial Qpartial y+partial Rpartial z
O gradiente de um escalar phi é
$$\nabla\phi=\Bigl(\frac{\partial\phi}{\partial x},\frac{\partial\phi}{\partial y},\frac{\partial\phi}{\partial z}\Bigr).
nablaphi=l(partialphipartial x,partialphipartial y,partialphipartial zr) é\nabla2P=\frac{\partial2P}{\partial x2}+\frac{\partial2P}{\partial y2}+\frac{\partial2P}{\partial z^2},\quade similar paraQ,R.
nabla^2P=partial^2Ppartial x^2+partial^2Ppartial y^2+partial^2Ppartial z^2,e similar para Q,R é\nabla\times\mathbf F=\Bigl(\frac{\partial R}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial z},;\frac{\partial P}{\partial z}-\frac{\partial R}{\partial x},;\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\Bigr).
$$

Passo 3

Agora calculamos nabla(nablacdot F) e nabla^2 F:
  1. Divergente: d=nablacdot F=Px+Qy+Rz.
  2. (\nabla(d)=\bigl(d_x,,d_y,,d_z\bigr)=\bigl(P_{xx}+Q_{yx}+R_{zx},;P_{xy}+Q_{yy}+R_{zy},;P_{xz}+Q_{yz}+R_{zz}\bigr).
  3. Laplaciano do vetor:
nabla^2 F=l(Pxx+Pyy+Pzz,;Qxx+Qyy+Qzz,;Rxx+Ryy+Rzzr)

Passo 4

Agora calculamos nablatimes(nablatimes F):
  1. Primeiro o rotacional:
$$\mathbf G=\nabla\times\mathbf F=\bigl(R_y-Q_z,;P_z-R_x,;Q_x-P_y\bigr).
G=nablatimes F=l(Ry-Qz,;Pz-Rx,;Qx-Pyr)
\nabla\times\mathbf G=
\Bigl(
\frac{\partial}{\partial y}(Q_x-P_y)-\frac{\partial}{\partial z}(P_z-R_x),
;\frac{\partial}{\partial z}(R_y-Q_z)-\frac{\partial}{\partial x}(Q_x-P_y),
\
\quad;\frac{\partial}{\partial x}(P_z-R_x)-\frac{\partial}{\partial y}(R_y-Q_z)
\Bigr).
$$
Expandindo cada componente temos:
  • Componente G: nablatimes G= l( partialpartial y(Qx-Py)-partialpartial z(Pz-Rx), ;partialpartial z(Ry-Qz)-partialpartial x(Qx-Py), ;partialpartial x(Pz-Rx)-partialpartial y(Ry-Qz) r) .
  • Componente x: Qxy-Pyy-Pzz+Rxz.
  • Componente y: Ryz-Qzz-Qxx+Pxy.

Passo 5

Basta agora comparar componente a componente com
$$\nabla(\nabla\cdot\mathbf F)-\nabla^2\mathbf F.
nabla(nablacdot F)-nabla^2 F
(P_{xx}+Q_{yx}+R_{zx})-(P_{xx}+P_{yy}+P_{zz})=Q_{xy}+R_{zx}-P_{yy}-P_{zz},
$$
que coincide com o que achamos para x. O mesmo acontece para as componentes (Pxx+Qyx+Rzx)-(Pxx+Pyy+Pzz)=Qxy+Rzx-Pyy-Pzz, e (nablatimes(nablatimes F))x. Portanto a identidade está verificada.

Passo 6

Essa comparação elemento a elemento mostra que
$$\nabla\times(\nabla\times\mathbf F)=\nabla(\nabla\cdot\mathbf F)-\nabla^2\mathbf F,
$$
como queríamos demonstrar.

Resposta

A identidade vetorial foi verificada componente a componente, mostrando que
nablatimes(nablatimes F)=nabla(nablacdot F)-nabla^2 F

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