As equações de Maxwell homogêneas relacionam o campo elétrico
e o campo magnético
, quando eles variam com o tempo em uma região no vácuo que não contenha carga nem corrente, como segue:
onde
e
são, respectivamente, as constantes de permeabilidade e permissividade do vácuo.
Seja
. Verifique que
onde
.
Seja
Passo 1
O enunciado pede para verificar a identidade vetorial
onde
Passo 2
Primeiro vamos lembrar as definições:
A divergente de
é
O gradiente de um escalar
$$\nabla\phi=\Bigl(\frac{\partial\phi}{\partial x},\frac{\partial\phi}{\partial y},\frac{\partial\phi}{\partial z}\Bigr).
$$
Passo 3
Agora calculamos
e
:
-
Divergente:
. -
(\nabla(d)=\bigl(d_x,,d_y,,d_z\bigr)=\bigl(P_{xx}+Q_{yx}+R_{zx},;P_{xy}+Q_{yy}+R_{zy},;P_{xz}+Q_{yz}+R_{zz}\bigr).
-
Laplaciano do vetor:
Passo 4
Agora calculamos
:
- Primeiro o rotacional:
$$\mathbf G=\nabla\times\mathbf F=\bigl(R_y-Q_z,;P_z-R_x,;Q_x-P_y\bigr).
\nabla\times\mathbf G=
\Bigl(
\frac{\partial}{\partial y}(Q_x-P_y)-\frac{\partial}{\partial z}(P_z-R_x),
;\frac{\partial}{\partial z}(R_y-Q_z)-\frac{\partial}{\partial x}(Q_x-P_y),
\
\quad;\frac{\partial}{\partial x}(P_z-R_x)-\frac{\partial}{\partial y}(R_y-Q_z)
\Bigr).
\Bigl(
\frac{\partial}{\partial y}(Q_x-P_y)-\frac{\partial}{\partial z}(P_z-R_x),
;\frac{\partial}{\partial z}(R_y-Q_z)-\frac{\partial}{\partial x}(Q_x-P_y),
\
\quad;\frac{\partial}{\partial x}(P_z-R_x)-\frac{\partial}{\partial y}(R_y-Q_z)
\Bigr).
$$
Expandindo cada componente temos:
Expandindo cada componente temos:
- Componente
: . - Componente
: . - Componente
: .
Passo 5
Basta agora comparar componente a componente com
$$\nabla(\nabla\cdot\mathbf F)-\nabla^2\mathbf F.
(P_{xx}+Q_{yx}+R_{zx})-(P_{xx}+P_{yy}+P_{zz})=Q_{xy}+R_{zx}-P_{yy}-P_{zz},
$$
que coincide com o que achamos para . O mesmo acontece para as componentes
e
. Portanto a identidade está verificada.
que coincide com o que achamos para
Passo 6
Essa comparação elemento a elemento mostra que
$$\nabla\times(\nabla\times\mathbf F)=\nabla(\nabla\cdot\mathbf F)-\nabla^2\mathbf F,
$$
como queríamos demonstrar.
como queríamos demonstrar.
Resposta
A identidade vetorial foi verificada componente a componente, mostrando que