Encantrar F(t) da equaçãos integral
F(t)=t+integral0^t F(t-beta) e^-beta d beta

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrar a função $ F(t) $ a partir de uma equação integral. A equação dada é:
F(t)
Isso está relacionado a matéria de equações integrais e transformadas de Laplace. Para resolver, vamos precisar usar a transformada de Laplace para simplificar a equação e encontrar $ F(t) $.

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar a transformada de Laplace em ambos os lados da equação. Lembre-se que a transformada de Laplace de uma função $ f(t) $ é definida como:
f(t)
Aplicando isso na nossa equação:
Lf(t) = integral0^infty e^-st f(t) , dt

Passo 3

Sabemos que:
Lt = 1s^2
E para a parte do integral, usamos a propriedade da convolução, que diz que:
L integral0^t F(t - beta) e^-beta , dbeta = LF(t) cdot Le^-t = F(s) cdot 1s + 1

Passo 4

Substituindo esses valores na equação transformada:
F(s) = 1s^2 + F(s) cdot 1s + 1
Agora, vamos resolver para $ F(s) $.

Passo 5

Vamos isolar $ F(s) $:
F(s)
Fatorando $ F(s) $:
F(s) - F(s) cdot 1s + 1 = 1s^2
Simplificando a expressão dentro dos parênteses:
F(s)
Então:
F(s) (1 - 1s + 1) = 1s^2

Passo 6

Agora, isolamos $ F(s) $:
F(s)
Podemos separar isso em duas frações:
F(s) = 1s^2 cdot s + 1s = s + 1s^3

Passo 7

Agora, aplicamos a transformada inversa de Laplace para encontrar $ F(t) $.
Sabemos que:
F(t)
L^-11s^2 = t

Resposta

Portanto, a função $ F(t) $ é:
F(t)

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