Encantrar
da equaçãos integral
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrar a função $ F(t) $ a partir de uma equação integral. A equação dada é:
Isso está relacionado a matéria de equações integrais e transformadas de Laplace. Para resolver, vamos precisar usar a transformada de Laplace para simplificar a equação e encontrar $ F(t) $.
Passo 2
Primeiro, vamos aplicar a transformada de Laplace em ambos os lados da equação. Lembre-se que a transformada de Laplace de uma função $ f(t) $ é definida como:
Aplicando isso na nossa equação:
Passo 3
Sabemos que:
E para a parte do integral, usamos a propriedade da convolução, que diz que:
Passo 4
Substituindo esses valores na equação transformada:
Agora, vamos resolver para $ F(s) $.
Passo 5
Vamos isolar $ F(s) $:
Fatorando $ F(s) $:
Simplificando a expressão dentro dos parênteses:
Então:
Passo 6
Agora, isolamos $ F(s) $:
Podemos separar isso em duas frações:
Passo 7
Agora, aplicamos a transformada inversa de Laplace para encontrar $ F(t) $.
Sabemos que:
Resposta
Portanto, a função $ F(t) $ é: