Encontrar
equacão integral
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você tem um exercício que pede para encontrar a função $ F(t) $ a partir da seguinte equação integral:
Esse tipo de problema está ligado a equações integrais, especificamente às equações de Volterra de segunda espécie. Para resolver isso, vamos precisar usar a transformada de Laplace, que é uma ferramenta matemática poderosa para transformar equações diferenciais e integrais em formas mais fáceis de resolver.
Passo 2
Primeiro, vamos dar um passo atrás e entender o que é a transformada de Laplace. Basicamente, ela transforma uma função no domínio do tempo em uma função no domínio da frequência, o que pode simplificar bastante operações como integrais e convoluções.
A transformada de Laplace de uma função $ f(t) $ é definida por:
Passo 3
Agora, vamos aplicar a transformada de Laplace em ambos os lados da equação integral dada:
Sabemos que:
e a transformada de Laplace da convolução de duas funções é o produto das suas transformadas individuais. Ou seja,
Sabendo que:
podemos reescrever a equação transformada.
Passo 4
Substituindo essas transformadas na nossa equação original, temos:
Vamos chamar $ \mathcal{L}{F(t)} $ de $ F(s) $ para simplificar a escrita:
Passo 5
Agora, vamos resolver essa equação para $ F(s) $. Vamos isolar $ F(s) $:
Fatorando $ F(s) $:
Simplificando o termo dentro dos parênteses:
Então, temos:
Passo 6
Agora, isolamos $ F(s) $:
Vamos simplificar o denominador $ s^2 - 2s + 1 $:
Portanto:
Passo 7
Agora, precisamos fazer a transformada inversa de Laplace para encontrar $ F(t) $. Para isso, vamos decompor $ F(s) $ em frações parciais:
Multiplicando ambos os lados por $ s (s - 1)^2 $:
Passo 8
Agora, vamos encontrar os valores de $ A $, $ B $ e $ C $.
Primeiro, substituímos $ s = 0 $:
Segundo, substituímos $ s = 1 $:
Para encontrar $ B $, expandimos a equação original:
Substituindo $ A = 1 $ e $ C = 2 $:
Comparando os coeficientes:
Para $ s^2 $:
Passo 9
Agora que temos $ A = 1 $, $ B = 0 $ e $ C = 2 $, nossa decomposição é:
Agora, aplicamos a transformada inversa de Laplace:
Resposta
Juntando tudo, a solução para a equação integral é: