Encontrar F(t) d y equacão integral
F(t)=1+2 integral0^t F(t-beta) Cos beta d beta

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem um exercício que pede para encontrar a função $ F(t) $ a partir da seguinte equação integral:
F(t)
Esse tipo de problema está ligado a equações integrais, especificamente às equações de Volterra de segunda espécie. Para resolver isso, vamos precisar usar a transformada de Laplace, que é uma ferramenta matemática poderosa para transformar equações diferenciais e integrais em formas mais fáceis de resolver.

Passo 2

Primeiro, vamos dar um passo atrás e entender o que é a transformada de Laplace. Basicamente, ela transforma uma função no domínio do tempo em uma função no domínio da frequência, o que pode simplificar bastante operações como integrais e convoluções.
A transformada de Laplace de uma função $ f(t) $ é definida por:
f(t)

Passo 3

Agora, vamos aplicar a transformada de Laplace em ambos os lados da equação integral dada:
LF(t) = L1 + 2 Lintegral0^t F(t - beta) cos beta , dbeta
Sabemos que:
L1 = 1s,
e a transformada de Laplace da convolução de duas funções é o produto das suas transformadas individuais. Ou seja,
Lintegral0^t F(t - beta) cos beta , dbeta = LF(t) cdot Lcos t
Sabendo que:
Lcos t = ss^2 + 1,
podemos reescrever a equação transformada.

Passo 4

Substituindo essas transformadas na nossa equação original, temos:
LF(t) = 1s + 2 cdot LF(t) cdot ss^2 + 1
Vamos chamar $ \mathcal{L}{F(t)} $ de $ F(s) $ para simplificar a escrita:
LF(t)

Passo 5

Agora, vamos resolver essa equação para $ F(s) $. Vamos isolar $ F(s) $:
F(s)
Fatorando $ F(s) $:
F(s)
Simplificando o termo dentro dos parênteses:
F(s) - 2 cdot F(s) cdot ss^2 + 1 = 1s
Então, temos:
F(s)

Passo 6

Agora, isolamos $ F(s) $:
F(s)
Vamos simplificar o denominador $ s^2 - 2s + 1 $:
F(s) = 1s cdot s^2 + 1s^2 - 2s + 1
Portanto:
s^2 - 2s + 1

Passo 7

Agora, precisamos fazer a transformada inversa de Laplace para encontrar $ F(t) $. Para isso, vamos decompor $ F(s) $ em frações parciais:
F(t)
Multiplicando ambos os lados por $ s (s - 1)^2 $:
F(s)

Passo 8

Agora, vamos encontrar os valores de $ A $, $ B $ e $ C $.
Primeiro, substituímos $ s = 0 $:
A
Segundo, substituímos $ s = 1 $:
B
Para encontrar $ B $, expandimos a equação original:
C
Substituindo $ A = 1 $ e $ C = 2 $:
s = 0
Comparando os coeficientes:
Para $ s^2 $:
0^2 + 1 = A (0 - 1)^2 + B cdot 0 cdot (0 - 1) + C cdot 0 Rightarrow 1 = A cdot 1 Rightarrow A = 1

Passo 9

Agora que temos $ A = 1 $, $ B = 0 $ e $ C = 2 $, nossa decomposição é:
A = 1
Agora, aplicamos a transformada inversa de Laplace:
B = 0
C = 2

Resposta

Juntando tudo, a solução para a equação integral é:
F(t) = 1 + 2 t e^t

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