Encolhe-se o braço do guindaste à razão constante de
, ao mesmo tempo em que é abaixado à razão constante de
. Para
e comprimento de
, determine (a) a velocidade do ponto B e (b) a sua aceleração. (4,5pontos).
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. A gente tem um braço de guindaste que está sendo encolhido a uma taxa constante de
e, ao mesmo tempo, está sendo abaixado a uma taxa constante de
. A gente precisa descobrir duas coisas para o ponto B quando o ângulo
é
e o comprimento do braço é
:
(a) Qual é a velocidade do ponto B?
(b) Qual é a aceleração do ponto B?
Vamos usar conceitos de cinemática em coordenadas polares para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as variáveis envolvidas:
- $ r $ é o comprimento do braço do guindaste, que está mudando com o tempo.
- $ \theta $ é o ângulo que o braço faz com a horizontal, que também está mudando com o tempo.
As taxas de variação são dadas por:
- $ \frac{dr}{dt} = -0,203 , m/s $ (negativo porque o braço está encolhendo)
- $ \frac{d\theta}{dt} = -0,08 , rad/s $ (negativo porque o braço está abaixando)
Passo 3
Para encontrar a velocidade do ponto B, usamos a fórmula da velocidade em coordenadas polares:
Aqui, $ \hat{r} $ é a direção radial e $ \hat{\theta} $ é a direção angular. Mas como queremos a velocidade total, vamos calcular o módulo dessa velocidade:
Passo 4
Vamos substituir os valores fornecidos:
Calculando cada parte:
Então:
Passo 5
Agora, para encontrar a aceleração do ponto B, usamos a fórmula da aceleração em coordenadas polares:
Assumindo que as taxas de variação são constantes, as segundas derivadas serão zero:
Então, simplificando:
Passo 6
Vamos substituir os valores:
Calculando cada parte:
Então:
Passo 7
Para encontrar o módulo da aceleração, usamos:
Calculando cada parte:
Então:
Resposta
(a) A velocidade do ponto B é aproximadamente
.
(b) A aceleração do ponto B é aproximadamente
.