Encontra a derivada das funções:
f(s)=(s^2-1)(3 s-1)(5 s^3+2 s)

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(s) = l(s^2-1r),(3s-1),l(5s^3+2sr)
O conteúdo aqui é a regra do produto estendida a três fatores, e vamos precisar lembrar como derivar cada fator e depois aplicar essa regra.

Passo 2

Se definirmos
u(s)=s^2-1, v(s)=3s-1, w(s)=5s^3+2s,
a regra do produto para três funções diz
f'(s)=u'(s),v(s),w(s);+;u(s),v'(s),w(s);+;u(s),v(s),w'(s)

Passo 3

Calculamos as derivadas de cada fator:
u'(s) = dds(s^2-1)=2s, v'(s)=dds(3s-1)=3, w'(s)=dds(5s^3+2s)=15s^2+2

Passo 4

Aplicando a fórmula do produto:
f'(s) = u'(s),v(s),w(s) +u(s),v'(s),w(s) +u(s),v(s),w'(s)

Passo 5

Agora montamos cada termo separadamente e expandimos:
  1. T1=u'(s),v(s),w(s)=(2s)(3s-1)(5s^3+2s).
    Expandindo:
    (2s)(3s-1)=6s^2-2s, (6s^2-2s)(5s^3+2s) =30s^5-10s^4+12s^3-4s^2
  2. T2=u(s),v'(s),w(s)=3,(s^2-1)(5s^3+2s).
    Primeiro 3(5s^3+2s)=15s^3+6s, então
    (s^2-1)(15s^3+6s) =15s^5+6s^3-15s^3-6s =15s^5-9s^3-6s
  3. T3=u(s),v(s),w'(s)=(s^2-1)(3s-1)(15s^2+2).
    Já tínhamos (s^2-1)(3s-1)=3s^3-s^2-3s+1. Multiplicando por 15s^2+2:
    (3s^3-s^2-3s+1)(15s^2+2) =45s^5-15s^4-39s^3+13s^2-6s+2

Passo 6

Somando T1+T2+T3 e agrupando termos semelhantes, obtemos
f'(s) =(30+15+45),s^5 +(-10+0-15),s^4 +(12-9-39),s^3 +(-4+0+13),s^2 +(-0-6-6),s +(0+0+2),
ou seja
f'(s)=90s^5-25s^4-36s^3+9s^2-12s+2

Resposta

boxedf'(s)=90s^5-25s^4-36s^3+9s^2-12s+2

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