Calcule integralC F cdot d r=integrala^b F(sigma(t)) cdot sigma^prime(t) d t, onde F: C subset R^n longrightarrow R^n (função vetorial) e C uma curva, definida pela função sigma:[a, b] longrightarrow R^n.
Verifique que integralC F cdot d r é independente do caminho, achando seu potencial, em caso afirmativo
F(x, y)=(e^x sen y, e^x cos y)

Passo 1

O enunciado pede para analisar a integral de linha
integralCFcdot d r
para
F(x,y)=l(e^xsin y,;e^xcos yr),
verificar se essa integral é independente do caminho (isto é, se F é conservativo) e, em caso afirmativo, encontrar uma função potencial phi tal que F=nablaphi.

Passo 2

Para verificar se F é conservativo em R^2 (que é simplesmente-conexo), calculamos as derivadas parciais
P(x,y)=e^xsin y, Q(x,y)=e^xcos y
Temos
partial Ppartial y(x,y) =partialpartial yl(e^xsin yr) =e^xcos y,
partial Qpartial x(x,y) =partialpartial xl(e^xcos yr) =e^xcos y

Passo 3

Como
partial Ppartial y(x,y) =partial Qpartial x(x,y) em todo (R^2),
e o domínio é simplesmente-conexo, concluímos que F é conservativo e a integral de linha é independente do caminho.

Passo 4

Para achar a potencial phi(x,y), integramos P em relação a x:
phi(x,y) =integral P(x,y),dx =integral e^xsin y,dx =e^xsin y + h(y),
onde h é função apenas de y. Agora impomos
partial phipartial y(x,y) = e^xcos y + h'(y) stackrel!= Q(x,y) = e^xcos y,
isto é h'(y)=0. Logo h(y) é constante, que podemos tomar zero. Portanto
phi(x,y)=e^xsin y

Resposta

A integral de linha é independente do caminho porque F é conservativo em R^2. Uma função potencial é
phi(x,y)=e^xsin y,
e para quaisquer pontos A=(xA,yA) e B=(xB,yB) ao longo de C vale
integralCFcdot d r =phi(B)-phi(A) =e^xBsin yB-e^xAsin yA

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