Calcule
, onde
(função vetorial) e
uma curva, definida pela função
.
Verifique que
é independente do caminho, achando seu potencial, em caso afirmativo
Verifique que
Passo 1
O enunciado pede para analisar a integral de linha
para
verificar se essa integral é independente do caminho (isto é, se
é conservativo) e, em caso afirmativo, encontrar uma função potencial
tal que
.
Passo 2
Para verificar se
é conservativo em
(que é simplesmente-conexo), calculamos as derivadas parciais
Temos
Passo 3
Como
e o domínio é simplesmente-conexo, concluímos que
é conservativo e a integral de linha é independente do caminho.
Passo 4
Para achar a potencial
, integramos
em relação a
:
onde
é função apenas de
. Agora impomos
isto é
. Logo
é constante, que podemos tomar zero. Portanto
Resposta
A integral de linha é independente do caminho porque
é conservativo em
. Uma função potencial é
e para quaisquer pontos
e
ao longo de
vale