Encontra-se difusão com reação química em várias aplicações dentro da engenharia, como por exemplos: absorção química (absorção de
em ácido sulfúrico), em reações catalisadas por sólidos, como na síntese de amônia (utilizando-se pellets de ferro-alumina como catalisador) e na combustão do carvão, visando gerar energia. Na equação da continuidade molar da espécie A , entra o termo reacional
"’(equação 1). Este termo dependerá do tipo de análise se a reação será homogênea (acontece em todos os pontos do elemento de volume) ou heterogênea (há duas fases para caracterizá-la). Para as situações a seguir, especifique as particularidades e reescreva a Equação da Continuidade, considerando o sistema unidimensional - direçāo Z e regime permanente:
a) Reação homogênea;
Passo 1
O enunciado pede: para o caso de “reação homogênea”, especificar as particularidades e reescrever a Equação da Continuidade para um sistema unidimensional (direção
) em regime permanente. Informações dadas no enunciado que usaremos:
- A equação geral fornecida é
- Devemos considerar sistema unidimensional (direção
). - Devemos considerar regime permanente.
- O caso é de reação homogênea (a reação ocorre em todo o volume do fluido/elemento de volume).
Passo 2
Entendendo o que significa “homogênea” e o termo reacional. Em linguagem simples:
- Reação homogênea: a reação ocorre em todo ponto do volume da fase considerada (por exemplo, uma reação em solução homogênea). Logo o termo reacional é uma taxa volumétrica de produção/consumo da espécie
. - Denotarei esse termo volumétrico por
com unidades . Importante: significa produção de ; significa consumo de . - Observação sobre a notação dada: o enunciado usa
. Aqui interpreto esse termo como a taxa volumétrica (por unidade de volume). Se em sua apostila significar outra coisa, a forma de escrita será análoga trocando o símbolo — mas o conceito (volumétrico) vale para reação homogênea.
Passo 3
Aplicando “regime permanente” e unidimensionalidade na equação de continuidade. Em regime permanente temos
. Em 1D (eixo
) a divergência do fluxo reduz-se à derivada espacial:
onde
é o fluxo molar na direção
(unidade
). Substituindo na equação original obtemos a forma geral em 1D regime permanente:
Esta equação diz, em palavras: variação espacial do fluxo = geração volumétrica local.
Passo 4
Agora precisamos relacionar o fluxo
com concentrações para obter uma equação diferencial em
(essa é a forma que costuma aparecer nas provas). O modelo mais básico e usado é a combinação de difusão de Fick com convecção (se houver escoamento). Escrevemos:
Expliquei cada termo:
-
é o coeficiente de difusão efetivo de na mistura ( ). O sinal negativo em vem da lei de Fick: o fluxo difusivo vai do mais concentrado para o menos concentrado. -
é a velocidade média do fluido na direção ( ). O termo convectivo transporta a concentração com o escoamento. - Se não houver convecção (fluido estacionário ou escoamento desprezível), basta pôr
e .
Passo 5
Substituindo a expressão do fluxo na equação de continuidade em 1D e regime permanente. Pegamos
Isto é uma equação diferencial ordinária (ODE) de segunda ordem para
. É a forma geral que você terá na prova quando a equação de continuidade for combinada com a lei de transporte (difusão + convecção).
Passo 6
Simplificação quando
e
são constantes. Muitas vezes, na resolução de exercícios, assume-se que
e
não dependem de
. Neste caso a derivada se distribui:
Esta é a forma canônica usada em muitos problemas: termo difusivo (segundo derivada), termo convectivo (primeira derivada) e termo fonte/reação à direita.
Passo 7
Exemplo concreto de lei de velocidade reacional: reação homogênea de primeira ordem (consumo de
). Uma escolha clássica é
com constante
(
). O sinal negativo indica consumo. Substituindo em (Passo 6) obtemos:
Rearranjando para uma forma padrão:
Esta é uma ODE linear homogênea de segunda ordem cujas soluções e constantes de integração serão determinadas pelas condições de contorno (por exemplo, concentrações conhecidas em
e
ou condições de fluxo).
Passo 8
Casos limites úteis (para a prova, vale decorar/lembrar):
- Caso sem convecção (
), e reação geral :
- Caso sem reação (
) e com convecção e difusão:
Esses limites aparecem muito em exercícios e são mais simples de resolver analiticamente.
Passo 9
Sobre sinais, unidades e condições de contorno (dicas práticas para a prova):
- Unidade de
: . - Unidade de
: . - Sempre especifique se
é positivo (geração) ou negativo (consumo) no modelo que usar. - As condições de contorno típicas: valor de
em uma face ( ou ), ou condição de fluxo (valor de em uma face). Sem condições de contorno não se resolve a ODE. - Se na sua disciplina adotarem outra convenção (por exemplo, trocar sinal em
), explique brevemente isso e mantenha consistência durante a resolução.