Encontra-se difusão com reação química em várias aplicações dentro da engenharia, como por exemplos: absorção química (absorção de \mathrm{SO}_{2} em ácido sulfúrico), em reações catalisadas por sólidos, como na síntese de amônia (utilizando-se pellets de ferro-alumina como catalisador) e na combustão do carvão, visando gerar energia. Na equação da continuidade molar da espécie A , entra o termo reacional \mathrm{R}_{\mathrm{A}} "’(equação 1). Este termo dependerá do tipo de análise se a reação será homogênea (acontece em todos os pontos do elemento de volume) ou heterogênea (há duas fases para caracterizá-la). Para as situações a seguir, especifique as particularidades e reescreva a Equação da Continuidade, considerando o sistema unidimensional - direçāo Z e regime permanente:
\frac{\partial \mathrm{C}_{\mathrm{A}}}{\partial \mathrm{t}}+\vec{\nabla} \cdot \overrightarrow{\mathrm{N}}_{\mathrm{A}}=\mathrm{R}_{\mathrm{A}}^{\prime \prime}
a) Reação homogênea;

Passo 1

O enunciado pede: para o caso de “reação homogênea”, especificar as particularidades e reescrever a Equação da Continuidade para um sistema unidimensional (direção z) em regime permanente. Informações dadas no enunciado que usaremos:
  • A equação geral fornecida é
\frac{\partial C_{A}}{\partial t}+\vec{\nabla}\cdot\overrightarrow{N}_{A}=R_{A}^{\prime\prime}.
  • Devemos considerar sistema unidimensional (direção z).
  • Devemos considerar regime permanente.
  • O caso é de reação homogênea (a reação ocorre em todo o volume do fluido/elemento de volume).

Passo 2

Entendendo o que significa “homogênea” e o termo reacional. Em linguagem simples:
  • Reação homogênea: a reação ocorre em todo ponto do volume da fase considerada (por exemplo, uma reação em solução homogênea). Logo o termo reacional é uma taxa volumétrica de produção/consumo da espécie A.
  • Denotarei esse termo volumétrico por R_{A} com unidades \mathrm{mol\;m^{-3}\;s^{-1}}. Importante: R_{A}>0 significa produção de A; R_{A}<0 significa consumo de A.
  • Observação sobre a notação dada: o enunciado usa R_{A}^{\prime\prime}. Aqui interpreto esse termo como a taxa volumétrica (por unidade de volume). Se em sua apostila R_{A}^{\prime\prime} significar outra coisa, a forma de escrita será análoga trocando o símbolo — mas o conceito (volumétrico) vale para reação homogênea.

Passo 3

Aplicando “regime permanente” e unidimensionalidade na equação de continuidade. Em regime permanente temos \partial C_{A}/\partial t=0. Em 1D (eixo z) a divergência do fluxo reduz-se à derivada espacial:
\vec{\nabla}\cdot\overrightarrow{N}_{A}=\frac{d N_{A}}{d z},
onde N_{A}(z) é o fluxo molar na direção z (unidade \mathrm{mol\;m^{-2}\;s^{-1}}). Substituindo na equação original obtemos a forma geral em 1D regime permanente:
\frac{d N_{A}}{d z}=R_{A}.
Esta equação diz, em palavras: variação espacial do fluxo = geração volumétrica local.

Passo 4

Agora precisamos relacionar o fluxo \overrightarrow{N}_{A} com concentrações para obter uma equação diferencial em C_{A} (essa é a forma que costuma aparecer nas provas). O modelo mais básico e usado é a combinação de difusão de Fick com convecção (se houver escoamento). Escrevemos:
N_{A} = -D_{AB}\frac{d C_{A}}{d z} + v_{z}\,C_{A}.
Expliquei cada termo:
  • \,D_{AB} é o coeficiente de difusão efetivo de A na mistura ( \mathrm{m^{2}\,s^{-1}}). O sinal negativo em -D_{AB}\,dC_{A}/dz vem da lei de Fick: o fluxo difusivo vai do mais concentrado para o menos concentrado.
  • v_{z} é a velocidade média do fluido na direção z ( \mathrm{m\,s^{-1}}). O termo convectivo v_{z}C_{A} transporta a concentração com o escoamento.
  • Se não houver convecção (fluido estacionário ou escoamento desprezível), basta pôr v_{z}=0 e N_A=-D_{AB}dC_A/dz.

Passo 5

Substituindo a expressão do fluxo na equação de continuidade em 1D e regime permanente. Pegamos
\frac{d}{dz}\left(-D_{AB}\frac{d C_{A}}{d z} + v_{z}C_{A}\right)=R_{A}.
Isto é uma equação diferencial ordinária (ODE) de segunda ordem para C_{A}(z). É a forma geral que você terá na prova quando a equação de continuidade for combinada com a lei de transporte (difusão + convecção).

Passo 6

Simplificação quando D_{AB} e v_{z} são constantes. Muitas vezes, na resolução de exercícios, assume-se que D_{AB} e v_{z} não dependem de z. Neste caso a derivada se distribui:
-D_{AB}\frac{d^{2} C_{A}}{d z^{2}} + v_{z}\frac{d C_{A}}{d z}=R_{A}.
Esta é a forma canônica usada em muitos problemas: termo difusivo (segundo derivada), termo convectivo (primeira derivada) e termo fonte/reação à direita.

Passo 7

Exemplo concreto de lei de velocidade reacional: reação homogênea de primeira ordem (consumo de A). Uma escolha clássica é
R_{A}=-k\,C_{A},
com constante k>0 ( \mathrm{s^{-1}}). O sinal negativo indica consumo. Substituindo em (Passo 6) obtemos:
-D_{AB}\frac{d^{2} C_{A}}{d z^{2}} + v_{z}\frac{d C_{A}}{d z} = -k\,C_{A}.
Rearranjando para uma forma padrão:
-D_{AB}\frac{d^{2} C_{A}}{d z^{2}} + v_{z}\frac{d C_{A}}{d z} + k\,C_{A}=0.
Esta é uma ODE linear homogênea de segunda ordem cujas soluções e constantes de integração serão determinadas pelas condições de contorno (por exemplo, concentrações conhecidas em z=0 e z=L ou condições de fluxo).

Passo 8

Casos limites úteis (para a prova, vale decorar/lembrar):
  • Caso sem convecção ( v_{z}=0), e reação geral R_{A}:
-D_{AB}\frac{d^{2} C_{A}}{d z^{2}} = R_{A}.
  • Caso sem reação ( R_{A}=0) e com convecção e difusão:
-D_{AB}\frac{d^{2} C_{A}}{d z^{2}} + v_{z}\frac{d C_{A}}{d z}=0.
Esses limites aparecem muito em exercícios e são mais simples de resolver analiticamente.

Passo 9

Sobre sinais, unidades e condições de contorno (dicas práticas para a prova):
  • Unidade de R_{A}: \mathrm{mol\;m^{-3}\;s^{-1}}.
  • Unidade de N_{A}: \mathrm{mol\;m^{-2}\;s^{-1}}.
  • Sempre especifique se R_{A} é positivo (geração) ou negativo (consumo) no modelo que usar.
  • As condições de contorno típicas: valor de C_{A} em uma face ( z=0 ou z=L), ou condição de fluxo (valor de N_{A} em uma face). Sem condições de contorno não se resolve a ODE.
  • Se na sua disciplina adotarem outra convenção (por exemplo, trocar sinal em R_A), explique brevemente isso e mantenha consistência durante a resolução.

Resposta

\frac{d N_{A}}{d z}=R_{A}
N_{A}=-D_{AB}\frac{d C_{A}}{d z}+v_{z}C_{A}\quad\Rightarrow\quad \frac{d}{d z}\!\left(-D_{AB}\frac{d C_{A}}{d z}+v_{z}C_{A}\right)=R_{A}
\text{(para \(D_{AB}\) e \(v_{z}\) constantes):}\quad -D_{AB}\frac{d^{2} C_{A}}{d z^{2}}+v_{z}\frac{d C_{A}}{d z}=R_{A}
\text{(exemplo 1ª ordem de consumo }R_{A}=-kC_{A}\text{):}\quad -D_{AB}\frac{d^{2} C_{A}}{d z^{2}}+v_{z}\frac{d C_{A}}{d z}+kC_{A}=0ª

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