Um duto cilíndrico com raio externo r_{1}=2 \mathrm{~cm} com sua superfície à temperatura T_{1}=120^{\circ} \mathrm{C}, constante, cede calor para o ar ambiente, que mantém temperatura \mathrm{T} \infty=25^{\circ} \mathrm{C}, constante, com coeficiente de transferência de calor por convecção de \mathrm{h}=4 \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{2} { }^{\circ} \mathrm{C}. Para reduzir a perda de calor, reveste-se o duto com uma camada cilíndrica de isolante com condutividade térmica \mathrm{k}_{\mathrm{I}}=0,15 \mathrm{~W} / \mathrm{m} { }^{\circ} \mathrm{C}. Considerando um contato térmico perfeito entre o duto e o isolante, determine o fluxo de calor perdido para o ambiente, por comprimento unitário do duto, para os casos de:
duto revestido com uma camada de isolante de raio externo 3 vezes o raio crítico.

Passo 1

O enunciado pede que eu determine o fluxo de calor perdido para o ambiente, por comprimento unitário do duto, quando o duto (raio externo r_{1}=2\\ \mathrm{cm}) é revestido por uma camada de isolante cujo raio externo é igual a 3 vezes o raio crítico. Os dados fornecidos são:
\begin{aligned} &\text{raio do duto (externo) } r_{1}=2\\ \mathrm{cm}=0,02\\ \mathrm{m},\\\ &\text{temperatura da superfície do duto } T_{1}=120^\circ\mathrm{C},\\\ &\text{temperatura do ar ambiente } T_\infty=25^\circ\mathrm{C},\\\ &\text{coeficiente de convecção } h=4\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}^2{}^\circ\mathrm{C},\\\ &\text{condutividade térmica do isolante } k_I=0,15\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}{}^\circ\mathrm{C},\\\ &\text{raio externo do isolante } r_{2}=3\;r_{\mathrm{crit}}. \end{aligned}íçãé
O que preciso entregar: o fluxo de calor perdido para o ambiente por comprimento unitário do duto (ou seja, q' em \mathrm{W}/\mathrm{m}) para o caso descrito.

Passo 2

Modelo físico e fórmula geral (sem cálculo ainda). Em regime estacionário, transferência de calor do duto para o ambiente ocorre em série: condução radial através do isolante cilíndrico até a superfície externa do isolante, e convecção entre essa superfície e o ar. Para comprimento unitário L=1\\ \mathrm{m} usamos a abordagem de resistências térmicas em série:
q'=\frac{T_{1}-T_\infty}{R_{\mathrm{cond}}+R_{\mathrm{conv}}},
onde:
R_{\mathrm{cond}}=\frac{\ln\!\left(\dfrac{r_{2}}{r_{1}}\right)}{2\pi k_I L} \quad\text{(resistência por condução do cilindro)},êçã
R_{\mathrm{conv}}=\frac{1}{h\,2\pi r_{2} L} \quad\text{(resistência por convecção na superfície externa)}.êçãí
Aqui T_{1} é a temperatura da superfície interna ( ^{\circ}\mathrm{C}), T_\infty é a temperatura ambiente, k_I é a condutividade do isolante, h é o coeficiente de convecção, r_{1} e r_{2} são raios interno e externo do revestimento, e L é o comprimento (vou usar L=1\\ \mathrm{m} para obter fluxo por metro).
Explicação física rápida: a condução na casca cilíndrica tem resistência que cresce com \ln(r_2/r_1) (mais espessura → mais resistência). A convecção depende da área externa 2\pi r_2 L (maior raio → maior área → menor resistência convectiva). Existe um raio crítico onde a soma das resistências é minimizada (ou equivalentemente o calor é máximo): esse raio crítico será útil porque o problema nos deu r_2 em função dele.

Passo 3

Derivação do raio crítico (aula curta). O raio crítico r_{\mathrm{crit}} é o valor de r_2 que torna a transferência de calor máxima ao variar a espessura (ou que minimiza a resistência total). A resistência total (por unidade de comprimento L=1) é
R_{\mathrm{tot}}(r_2)=\frac{\ln\!\left(\dfrac{r_{2}}{r_{1}}\right)}{2\pi k_I}+\frac{1}{2\pi r_{2} h}.
Para achar o mínimo, derivamos em relação a r_2 e igualamos a zero:
\frac{dR_{\mathrm{tot}}}{dr_2}=\frac{1}{2\pi k_I}\cdot\frac{1}{r_2}-\frac{1}{2\pi h}\cdot\frac{1}{r_2^{2}}=0.
Multiplicando por 2\pi r_2^{2} obtemos
\frac{r_2}{k_I}-\frac{1}{h}=0\quad\Rightarrow\quad r_2=\frac{k_I}{h}.
Portanto o raio crítico é
r_{\mathrm{crit}}=\frac{k_I}{h}.
Agora calculo numericamente:
r_{\mathrm{crit}}=\frac{0,15}{4}=0,0375\\ \mathrm{m}=3,75\\ \mathrm{cm}.

Passo 4

Determinar o raio externo r_{2} pedido no enunciado. Foi dado que r_{2}=3\,r_{\mathrm{crit}}. Logo
r_{2}=3\cdot 0,0375\\ \mathrm{m}=0,1125\\ \mathrm{m}=11{,}25\\ \mathrm{cm}.
Lembrete: o contato térmico entre duto e isolante é perfeito, então a interface tem a mesma temperatura T_{1} indicada.

Passo 5

Agora calculo as resistências separadamente (usando L=1\\ \mathrm{m}). Primeiro a condutiva:
\ln\!\left(\frac{r_{2}}{r_{1}}\right)=\ln\!\left(\frac{0,1125}{0,02}\right)=\ln(5{,}625)=1{,}7270\\ (\text{aprox.}).
R_{\mathrm{cond}}=\frac{1{,}7270}{2\pi\cdot 0{,}15}= \frac{1{,}7270}{0{,}9424778}=1{,}8330\\ \mathrm{K}/\mathrm{W}\quad(\text{por metro}).
Agora a resistência convectiva:
R_{\mathrm{conv}}=\frac{1}{2\pi r_{2} h}=\frac{1}{2\pi\cdot 0{,}1125\cdot 4}=\frac{1}{2{,}827433}=0{,}3537\\ \mathrm{K}/\mathrm{W}.

Passo 6

Somando as resistências para obter a resistência total por unidade de comprimento:
R_{\mathrm{tot}}=R_{\mathrm{cond}}+R_{\mathrm{conv}}=1{,}8330+0{,}3537=2{,}1867\\ \mathrm{K}/\mathrm{W}.
Verificação de ordem de grandeza: a resistência de condução domina aqui (1,83 vs 0,35), pois o isolante é relativamente pouco condutor e a espessura é grande.

Passo 7

Agora calculo o fluxo de calor por unidade de comprimento usando a queda de temperatura T_{1}-T_\infty=120-25=95\\ ^\circ\mathrm{C}:
q'=\frac{T_{1}-T_\infty}{R_{\mathrm{tot}}}=\frac{95}{2{,}1867}=43{,}46\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}.
Arredondando de forma razoável, q'\approx 43{,}5\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}.

Resposta

43{,}5\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}

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