Um duto cilíndrico com raio externo
com sua superfície à temperatura
, constante, cede calor para
ar ambiente, que mantém temperatura
, constante, com coeficiente de transferência de calor por convecção de
. Para reduzir a perda de calor, reveste-se o duto com uma camada cilíndrica de isolante com condutividade térmica
. Considerando um contato térmico perfeito entre o duto e o isolante, determine o fluxo de calor perdido para o ambiente, por comprimento unitário do duto, para os casos de:
duto revestido com uma camada de isolante de raio externo 3 vezes o raio crítico.
duto revestido com uma camada de isolante de raio externo 3 vezes o raio crítico.
Passo 1
O enunciado pede que eu determine o fluxo de calor perdido para o ambiente, por comprimento unitário do duto, quando o duto (raio externo
) é revestido por uma camada de isolante cujo raio externo é igual a 3 vezes o raio crítico. Os dados fornecidos são:
O que preciso entregar: o fluxo de calor perdido para o ambiente por comprimento unitário do duto (ou seja,
em
) para o caso descrito.
Passo 2
Modelo físico e fórmula geral (sem cálculo ainda). Em regime estacionário, transferência de calor do duto para o ambiente ocorre em série: condução radial através do isolante cilíndrico até a superfície externa do isolante, e convecção entre essa superfície e o ar. Para comprimento unitário
usamos a abordagem de resistências térmicas em série:
onde:
Aqui
é a temperatura da superfície interna (
),
é a temperatura ambiente,
é a condutividade do isolante,
é o coeficiente de convecção,
e
são raios interno e externo do revestimento, e
é o comprimento (vou usar
para obter fluxo por metro).
Explicação física rápida: a condução na casca cilíndrica tem resistência que cresce com
(mais espessura → mais resistência). A convecção depende da área externa
(maior raio → maior área → menor resistência convectiva). Existe um raio crítico onde a soma das resistências é minimizada (ou equivalentemente o calor é máximo): esse raio crítico será útil porque o problema nos deu
em função dele.
Passo 3
Derivação do raio crítico (aula curta). O raio crítico
é o valor de
que torna a transferência de calor máxima ao variar a espessura (ou que minimiza a resistência total). A resistência total (por unidade de comprimento
) é
Para achar o mínimo, derivamos em relação a
e igualamos a zero:
Multiplicando por
obtemos
Portanto o raio crítico é
Agora calculo numericamente:
Passo 4
Determinar o raio externo
pedido no enunciado. Foi dado que
. Logo
Lembrete: o contato térmico entre duto e isolante é perfeito, então a interface tem a mesma temperatura
indicada.
Passo 5
Agora calculo as resistências separadamente (usando
). Primeiro a condutiva:
Agora a resistência convectiva:
Passo 6
Somando as resistências para obter a resistência total por unidade de comprimento:
Verificação de ordem de grandeza: a resistência de condução domina aqui (1,83 vs 0,35), pois o isolante é relativamente pouco condutor e a espessura é grande.
Passo 7
Agora calculo o fluxo de calor por unidade de comprimento usando a queda de temperatura
:
Arredondando de forma razoável,
.