Um duto cilíndrico com raio externo r_{1}=2 \mathrm{~cm} com sua superfície à temperatura T_{1}=120^{\circ} \mathrm{C}, constante, cede calor para o ar ambiente, que mantém temperatura \mathrm{T} \infty=25^{\circ} \mathrm{C}, constante, com coeficiente de transferência de calor por convecção de \mathrm{h}=4 \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{2} { }^{\circ} \mathrm{C}. Para reduzir a perda de calor, reveste-se o duto com uma camada cilíndrica de isolante com condutividade térmica \mathrm{k}_{\mathrm{I}}=0,15 \mathrm{~W} / \mathrm{m} { }^{\circ} \mathrm{C}. Considerando um contato térmico perfeito entre o duto e o isolante, determine o fluxo de calor perdido para o ambiente, por comprimento unitário do duto, para os casos de:
duto revestido com uma camada de isolante de raio externo igual ao raio crítico.

Passo 1

O enunciado dá os seguintes dados e pede o fluxo de calor perdido por comprimento unitário do duto quando o isolante tem raio externo igual ao raio crítico.
Dados:
r_{1}=2\\ \text{cm}=0,02\\ \mathrm{m},
T_{1}=120^\circ\mathrm{C},
T_{\infty}=25^\circ\mathrm{C},
h=4\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}\,^\circ\mathrm{C},
k_{I}=0,15\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}\,^\circ\mathrm{C}.
O que se pede:
  • determinar o fluxo de calor por unidade de comprimento q' (em \mathrm{W}/\mathrm{m}) quando o raio externo da camada isolante r_{2} é igual ao raio crítico.

Passo 2

Modelo e equações básicas — resistência térmica por condução no anel cilíndrico.
Para transferência de calor radial permanente e unidimensional em coordenadas cilíndricas, a taxa de calor por unidade de comprimento q' é constante e a equação diferencial de Fourier dá:
q'=-k\;2\pi r\frac{dT}{dr}.
Integramos entre r=r_{1} (superfície do duto) e r=r_{2} (superfície externa do isolante) para relacionar \Delta T=T_{1}-T_{2} com q'. A integração fornece a forma de resistência térmica por condução radial:
q'=\frac{T_{1}-T_{2}}{\displaystyle \frac{1}{2\pi k_{I}}\ln\!\left(\frac{r_{2}}{r_{1}}\right)}.
Definimos a resistência por condução por unidade de comprimento como
R_{\text{cond}}=\frac{1}{2\pi k_{I}}\ln\!\left(\frac{r_{2}}{r_{1}}\right),
onde k_{I} é a condutividade do isolante, r_{1} e r_{2} são raios interno e externo respectivamente.
Explicação das variáveis:
  • q': fluxo de calor por comprimento unitário (W/m),
  • k_{I}: condutividade térmica do isolante (W/m·°C),
  • r: variável radial (m),
  • T: temperatura (°C).

Passo 3

Resistência térmica por convecção na superfície externa.
A superfície externa do isolante, de raio r_{2}, perde calor por convecção para o ar. A resistência de convecção por unidade de comprimento é
R_{\text{conv}}=\frac{1}{h\;A_{\text{conv}}}=\frac{1}{h\;2\pi r_{2}},
onde h é o coeficiente de convecção e A_{\text{conv}}=2\pi r_{2}\cdot 1 é a área lateral por comprimento unitário.
A resistência térmica total por unidade de comprimento é a soma:
R_{\text{total}}=R_{\text{cond}}+R_{\text{conv}}=\frac{1}{2\pi k_{I}}\ln\!\left(\frac{r_{2}}{r_{1}}\right)+\frac{1}{2\pi r_{2} h}.
E o fluxo por comprimento é
q'=\frac{T_{1}-T_{\infty}}{R_{\text{total}}}.

Passo 4

Definição e obtenção do raio crítico.
O raio crítico r_{c} é o valor de r_{2} que torna máxima a perda de calor ao aumentar r_{2} a partir do raio r_{1} (ou, dito de outro modo, é o ponto em que adicionar isolante deixa de aumentar a perda e passa a reduzi-la). Matematicamente, encontramos r_{c} anulando a derivada de R_{\text{total}} em relação a r_{2} (ou maximizando q'). Fazendo \dfrac{dR_{\text{total}}}{dr_{2}}=0:
\frac{d}{dr_{2}}\left[\frac{1}{2\pi k_{I}}\ln\!\left(\frac{r_{2}}{r_{1}}\right)+\frac{1}{2\pi r_{2} h}\right]=0.
Calculando a derivada e simplificando obtém-se
\frac{1}{2\pi k_{I}}\cdot\frac{1}{r_{2}}-\frac{1}{2\pi h}\cdot\frac{1}{r_{2}^{2}}=0.
Multiplicando por 2\pi r_{2}^{2} e isolando r_{2} resulta
r_{c}=\frac{k_{I}}{h}.

Passo 5

Calcular numericamente o raio crítico e fixar r_{2}=r_{c}.
r_{c}=\frac{k_{I}}{h}=\frac{0,15}{4}=0,0375\\ \mathrm{m}=3,75\\ \text{cm}.
Portanto tomamos r_{2}=0,0375\\ \mathrm{m}.

Passo 6

Calcular a resistência de condução numérica com r_{2}=r_{c}.
Primeiro a razão:
\frac{r_{2}}{r_{1}}=\frac{0,0375}{0,02}=1,875.
Logo
\ln\!\left(\frac{r_{2}}{r_{1}}\right)=\ln(1,875)\approx 0,62968.
A resistência por condução é
R_{\text{cond}}=\frac{1}{2\pi k_{I}}\ln\!\left(\frac{r_{2}}{r_{1}}\right) =\frac{0,62968}{2\pi\cdot 0,15}.
Calculemos o denominador:
2\pi\cdot 0,15 \approx 0,94248.
Assim
R_{\text{cond}}\approx\frac{0,62968}{0,94248}\approx 0,66850\\ \mathrm{K}/\mathrm{W}\\ \text{(por m)}.

Passo 7

Calcular a resistência de convecção numérica com r_{2}=r_{c}.
R_{\text{conv}}=\frac{1}{2\pi r_{2} h}=\frac{1}{2\pi\cdot 0,0375\cdot 4}.
Novamente 2\pi\cdot 0,0375\cdot 4=2\pi\cdot 0,15\approx 0,94248, portanto
R_{\text{conv}}\approx\frac{1}{0,94248}\approx 1,06103\\ \mathrm{K}/\mathrm{W}\\ \text{(por m)}.

Passo 8

Somar resistências e calcular o fluxo por unidade de comprimento.
R_{\text{total}}=R_{\text{cond}}+R_{\text{conv}}\approx 0,66850+1,06103=1,72953\\ \mathrm{K}/\mathrm{W}.
A diferença de temperatura é
\Delta T=T_{1}-T_{\infty}=120-25=95^\circ\mathrm{C}.
Logo o fluxo por comprimento é
q'=\frac{\Delta T}{R_{\text{total}}}=\frac{95}{1,72953}\approx 54,97\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}.

Resposta

q'\approx 54,97\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}

Exercícios relacionados