Um duto cilíndrico com raio externo
com sua superfície à temperatura
, constante, cede calor para
ar ambiente, que mantém temperatura
, constante, com coeficiente de transferência de calor por convecção de
. Para reduzir a perda de calor, reveste-se o duto com uma camada cilíndrica de isolante com condutividade térmica
. Considerando um contato térmico perfeito entre o duto e o isolante, determine o fluxo de calor perdido para o ambiente, por comprimento unitário do duto, para os casos de:
duto revestido com uma camada de isolante de raio externo igual ao raio crítico.
duto revestido com uma camada de isolante de raio externo igual ao raio crítico.
Passo 1
O enunciado dá os seguintes dados e pede o fluxo de calor perdido por comprimento unitário do duto quando o isolante tem raio externo igual ao raio crítico.
Dados:
O que se pede:
- determinar o fluxo de calor por unidade de comprimento
(em ) quando o raio externo da camada isolante é igual ao raio crítico.
Passo 2
Modelo e equações básicas — resistência térmica por condução no anel cilíndrico.
Para transferência de calor radial permanente e unidimensional em coordenadas cilíndricas, a taxa de calor por unidade de comprimento
é constante e a equação diferencial de Fourier dá:
Integramos entre
(superfície do duto) e
(superfície externa do isolante) para relacionar
com
. A integração fornece a forma de resistência térmica por condução radial:
Definimos a resistência por condução por unidade de comprimento como
onde
é a condutividade do isolante,
e
são raios interno e externo respectivamente.
Explicação das variáveis:
-
: fluxo de calor por comprimento unitário (W/m), -
: condutividade térmica do isolante (W/m·°C), -
: variável radial (m), -
: temperatura (°C).
Passo 3
Resistência térmica por convecção na superfície externa.
A superfície externa do isolante, de raio
, perde calor por convecção para o ar. A resistência de convecção por unidade de comprimento é
onde
é o coeficiente de convecção e
é a área lateral por comprimento unitário.
A resistência térmica total por unidade de comprimento é a soma:
E o fluxo por comprimento é
Passo 4
Definição e obtenção do raio crítico.
O raio crítico
é o valor de
que torna máxima a perda de calor ao aumentar
a partir do raio
(ou, dito de outro modo, é o ponto em que adicionar isolante deixa de aumentar a perda e passa a reduzi-la). Matematicamente, encontramos
anulando a derivada de
em relação a
(ou maximizando
). Fazendo
:
Calculando a derivada e simplificando obtém-se
Multiplicando por
e isolando
resulta
Passo 5
Calcular numericamente o raio crítico e fixar
.
Portanto tomamos
.
Passo 6
Calcular a resistência de condução numérica com
.
Primeiro a razão:
Logo
A resistência por condução é
Calculemos o denominador:
Assim
Passo 7
Calcular a resistência de convecção numérica com
.
Novamente
, portanto
Passo 8
Somar resistências e calcular o fluxo por unidade de comprimento.
A diferença de temperatura é
Logo o fluxo por comprimento é