Encontrando estatísticas amostrais Nos exercícios 15 e 16, encontre a amplitude, a média, a variância e o desvio padrão para a amostra dada.
§N 15. Idade de consumidores As idades (em anos) de uma amostra aleatória de consumidores de uma loja de roupas.
16 18 19 17 14 15 17 17 17 16
19 22 24 14 16 14 17 16 14 18

Passo 1

O enunciado pede que, para a amostra de idades fornecida, se calcule:
  • a amplitude (ou range),
  • a média amostral,
  • a variância amostral,
  • o desvio padrão amostral.
Os dados fornecidos (peguei estes números do enunciado) são, em anos:
16,\;18,\;19,\;17,\;14,\;15,\;17,\;17,\;17,\;16,\; 19,\;22,\;24,\;14,\;16,\;14,\;17,\;16,\;14,\;18.
Informações relevantes que já extraí:
  • Tamanho da amostra: n=20.
  • Valores distintos observados e suas frequências:
    • 14 aparece 4 vezes,
    • 15 aparece 1 vez,
    • 16 aparece 4 vezes,
    • 17 aparece 5 vezes,
    • 18 aparece 2 vezes,
    • 19 aparece 2 vezes,
    • 22 aparece 1 vez,
    • 24 aparece 1 vez.

Passo 2

Cálculo da amplitude.
Definição: a amplitude é a diferença entre o maior e o menor valor da amostra. Sejam \max(x_i) e \min(x_i) o maior e o menor valor da amostra, então a amplitude é \max(x_i)-\min(x_i).
Aqui:
\min(x_i)=14,\qquad \max(x_i)=24,
logo a amplitude é
24-14=10.

Passo 3

Cálculo da média amostral \bar{x}.
Definição: a média amostral é a soma dos valores dividida pelo número de observações. Se x_1,\dots,x_n são os dados, então
\bar{x}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n x_i.
Nesta amostra posso somar usando as frequências:
\sum_{i=1}^{20} x_i = 14\cdot4 + 15\cdot1 + 16\cdot4 + 17\cdot5 + 18\cdot2 + 19\cdot2 + 22\cdot1 + 24\cdot1.
Calculando termo a termo:
14\cdot4=56,\; 15\cdot1=15,\; 16\cdot4=64,\; 17\cdot5=85,\; 18\cdot2=36,\; 19\cdot2=38,\; 22\cdot1=22,\; 24\cdot1=24.
Soma total:
56+15+64+85+36+38+22+24 = 340.
Portanto
\bar{x}=\frac{340}{20}=17.
Explicação curta: a média é o “centro de massa” aritmético dos dados; aqui deu exatamente 17.

Passo 4

Preparar o cálculo das somas de quadrados dos desvios.
Para a variância amostral precisamos da soma dos quadrados das diferenças entre cada observação e a média:
\sum_{i=1}^n (x_i-\bar{x})^2.
É prático usar as frequências: para cada valor x com frequência f, contribui f\,(x-\bar{x})^2.
Calcular os desvios em relação a \bar{x}=17 e seus quadrados:
\begin{array}{lcl} x=14: & x-\bar{x}=-3, & (x-\bar{x})^2=9,\quad f=4 \Rightarrow 4\cdot9=36,\\[4pt] x=15: & x-\bar{x}=-2, & (x-\bar{x})^2=4,\quad f=1 \Rightarrow 1\cdot4=4,\\[4pt] x=16: & x-\bar{x}=-1, & (x-\bar{x})^2=1,\quad f=4 \Rightarrow 4\cdot1=4,\\[4pt] x=17: & x-\bar{x}=0, & (x-\bar{x})^2=0,\quad f=5 \Rightarrow 5\cdot0=0,\\[4pt] x=18: & x-\bar{x}=1, & (x-\bar{x})^2=1,\quad f=2 \Rightarrow 2\cdot1=2,\\[4pt] x=19: & x-\bar{x}=2, & (x-\bar{x})^2=4,\quad f=2 \Rightarrow 2\cdot4=8,\\[4pt] x=22: & x-\bar{x}=5, & (x-\bar{x})^2=25,\quad f=1 \Rightarrow 1\cdot25=25,\\[4pt] x=24: & x-\bar{x}=7, & (x-\bar{x})^2=49,\quad f=1 \Rightarrow 1\cdot49=49. \end{array}
Somando as contribuições:
36+4+4+0+2+8+25+49 = 128.
Portanto \sum_{i=1}^n (x_i-\bar{x})^2 = 128.]

Passo 5

Cálculo da variância amostral s^2.
Definição (variância amostral, estimador não viciado): com n observações,
s^2=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n (x_i-\bar{x})^2.
Aqui n=20 e a soma dos quadrados é 128, então
s^2=\frac{128}{20-1}=\frac{128}{19}.
Como fração isso é exato; em forma decimal:
\frac{128}{19}\approx 6,736842\ldots
(uso vírgula decimal conforme convênio).
Explicação breve do porquê do divisor n-1: ao estimar a variância da população a partir de uma amostra usa-se n-1 porque já foi usada a informação da média amostral; isso corrige o viés e dá o estimador conhecido como “amostral” ou “não viciado”.

Passo 6

Cálculo do desvio padrão amostral s.
Definição: o desvio padrão é a raiz quadrada da variância:
s=\sqrt{s^2}=\sqrt{\frac{128}{19}}.
Valor numérico aproximado:
s\approx \sqrt{6,736842\ldots}\approx 2,5955\ldots\approx 2,596.
Interpretação curta: em média, as idades se desviam da média 17 anos por cerca de 2,6 anos.

Passo 7

Resumo rápido de como fazer isso na prova (dica amiga):
  • Conte quantos dados há ( n).
  • Calcule a média somando todos os valores e dividindo por n.
  • Para variância, calcule cada x_i-\bar{x}, eleve ao quadrado e some; divida por n-1.
  • Tire raiz quadrada para o desvio padrão.
    Usar frequências (agrupar valores repetidos) torna as contas muito mais rápidas, como fiz acima.

Resposta

Amplitude = 10
Média amostral \bar{x} = 17
Variância amostral s^{2} = \dfrac{128}{19} \approx 6,736842
Desvio padrão amostral s = \sqrt{\dfrac{128}{19}} \approx 2,596

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