Encontrando estatísticas amostrais Nos exercícios 15 e 16, encontre a amplitude, a média, a variância e o desvio padrão para a amostra dada.
§N 15. Idade de consumidores As idades (em anos) de uma amostra aleatória de consumidores de uma loja de roupas.
16
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22
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§N 15. Idade de consumidores As idades (em anos) de uma amostra aleatória de consumidores de uma loja de roupas.
| 16 | 18 | 19 | 17 | 14 | 15 | 17 | 17 | 17 | 16 |
| 19 | 22 | 24 | 14 | 16 | 14 | 17 | 16 | 14 | 18 |
Passo 1
O enunciado pede que, para a amostra de idades fornecida, se calcule:
- a amplitude (ou range),
- a média amostral,
- a variância amostral,
- o desvio padrão amostral.
Os dados fornecidos (peguei estes números do enunciado) são, em anos:
Informações relevantes que já extraí:
- Tamanho da amostra:
. - Valores distintos observados e suas frequências:
-
aparece vezes, -
aparece vez, -
aparece vezes, -
aparece vezes, -
aparece vezes, -
aparece vezes, -
aparece vez, -
aparece vez.
-
Passo 2
Cálculo da amplitude.
Definição: a amplitude é a diferença entre o maior e o menor valor da amostra. Sejam e
o maior e o menor valor da amostra, então a amplitude é
.
Definição: a amplitude é a diferença entre o maior e o menor valor da amostra. Sejam
Aqui:
logo a amplitude é
Passo 3
Cálculo da média amostral
.
Definição: a média amostral é a soma dos valores dividida pelo número de observações. Se são os dados, então
Definição: a média amostral é a soma dos valores dividida pelo número de observações. Se
Nesta amostra posso somar usando as frequências:
Calculando termo a termo:
Soma total:
Portanto
Explicação curta: a média é o “centro de massa” aritmético dos dados; aqui deu exatamente
.
Passo 4
Preparar o cálculo das somas de quadrados dos desvios.
Para a variância amostral precisamos da soma dos quadrados das diferenças entre cada observação e a média:
Para a variância amostral precisamos da soma dos quadrados das diferenças entre cada observação e a média:
É prático usar as frequências: para cada valor
com frequência
, contribui
.
Calcular os desvios em relação a
e seus quadrados:
Somando as contribuições:
Portanto
.]
Passo 5
Cálculo da variância amostral
.
Definição (variância amostral, estimador não viciado): com observações,
Definição (variância amostral, estimador não viciado): com
Aqui
e a soma dos quadrados é
, então
Como fração isso é exato; em forma decimal:
(uso vírgula decimal conforme convênio).
Explicação breve do porquê do divisor
: ao estimar a variância da população a partir de uma amostra usa-se
porque já foi usada a informação da média amostral; isso corrige o viés e dá o estimador conhecido como “amostral” ou “não viciado”.
Passo 6
Cálculo do desvio padrão amostral
.
Definição: o desvio padrão é a raiz quadrada da variância:
Definição: o desvio padrão é a raiz quadrada da variância:
Valor numérico aproximado:
Interpretação curta: em média, as idades se desviam da média
anos por cerca de
anos.
Passo 7
Resumo rápido de como fazer isso na prova (dica amiga):
- Conte quantos dados há (
). - Calcule a média somando todos os valores e dividindo por
. - Para variância, calcule cada
, eleve ao quadrado e some; divida por . - Tire raiz quadrada para o desvio padrão.
Usar frequências (agrupar valores repetidos) torna as contas muito mais rápidas, como fiz acima.
Resposta
Amplitude =
Média amostral
Variância amostral
Desvio padrão amostral
Média amostral
Variância amostral
Desvio padrão amostral