Questão 8. Um gerente de operações modelou a demanda mensal de um produto ( y , em mil unidades) em função do investimento em publicidade ( x , em mil reais) e obteve a equação:
.
a) Qual a demanda prevista para um investimento de
15.000$ em publicidade?
b) Interprete o valor de
no contexto do problema.
c) Se o orçamento de publicidade for zerado (
), qual seria a demanda prevista? Esse valor é realmente interpretável? Justifique.
d) O gerente pretende usar este modelo para prever a demanda com
200.000). Quais os riscos dessa extrapolação?
a) Qual a demanda prevista para um investimento de
b) Interprete o valor de
c) Se o orçamento de publicidade for zerado (
Passo 1
O enunciado fornece a regressão linear ajustada e pede quatro coisas. Dados que peguei do enunciado:
- A equação estimada é
. - Aqui
é a demanda mensal em mil unidades (ou seja, representa unidades). -
é o investimento em publicidade em mil reais (ou seja, representa R$ ). - O coeficiente de determinação é
.
O enunciado pede:
a) a demanda prevista para investimento de R$ em publicidade;
b) interpretar no contexto;
c) a demanda prevista se e se esse valor é interpretável (justifique);
d) comentar os riscos de usar o modelo para prever em (R$
).
a) a demanda prevista para investimento de R$
b) interpretar
c) a demanda prevista se
d) comentar os riscos de usar o modelo para prever em
Passo 2
Entendendo a equação e as unidades (a parte prática antes de calcular): a equação
tem duas partes importantes:
- O intercepto
é o valor previsto de quando . Em palavras: é a demanda prevista (em mil unidades) quando não há investimento em publicidade (se assumirmos que o modelo é válido nessa situação). - O coeficiente angular
é a variação esperada em (em mil unidades) para cada aumento de uma unidade em (uma unidade de = R$ ). Ou seja, aumentar R$ em publicidade aumenta a demanda prevista em mil unidades = unidades, segundo o modelo.
Antes de calcular, converter valores monetários para a unidade
da equação:
- R$
corresponde a (porque ). - R$
corresponde a .
Passo 3
Cálculo da parte (a) passo a passo:
- Substituir
em . - Calcular o termo linear:
. - Somar o intercepto:
.
Interpretação do resultado numérico:significa mil unidades, isto é unidades. Então a previsão para R$ é mil unidades (ou unidades).
Passo 4
Explicando o que é
(didático e sem pular passos):
- Definição prática:
. - O que significam os termos:
-
(soma total dos quadrados) mede a variabilidade total observada em em torno da média de . -
(soma dos quadrados dos resíduos) mede quanto da variabilidade de não é explicada pelo modelo (os erros).
-
- Interpretação numérica:
quer dizer que da variação observada na demanda (entre as observações usadas para ajustar o modelo) é explicada pela variação no investimento em publicidade, segundo esse modelo linear. - O que isso implica na prática:
- É um ajuste razoavelmente bom: a publicidade explica a maior parte da variação observada, mas não tudo.
- Ainda sobra
da variabilidade que não é explicada pelo modelo — pode vir de fatores não incluídos (preço, sazonalidade, concorrência, erro aleatório etc.). - Atenção:
não prova causalidade (um alto não garante que mais investimento sempre cause aumento na demanda) e não diz nada direto sobre a precisão de previsões fora da faixa dos dados observados.
Passo 5
Parte (c): calcular
quando
e discutir interpretabilidade.
- Cálculo:
Então mil unidades = unidades. - Interpretação e justificativa (por que ter cuidado):
- Em termos do modelo, esse valor é a demanda prevista quando não há investimento em publicidade — pode ser chamado de demanda-base.
- Porém, a interpretação está sujeita a condições:
- Se nos dados usados para ajustar o modelo havia observações com
próximas de zero, o intercepto é mais confiável como estimativa da demanda sem publicidade. - Se nenhuma observação estava perto de
, então o intercepto é uma extrapolação e pode não refletir a realidade. - Mesmo com dados próximos de zero, é preciso verificar se o intercepto é estatisticamente significativo e se não há viés por variáveis omitidas (por exemplo, promoções, presença de concorrentes).
- Se nos dados usados para ajustar o modelo havia observações com
- Conclusão: numericament e a previsão é
mil unidades, e em princípio isso representa a demanda sem publicidade, mas essa interpretação deve ser feita com cautela e verificações adicionais.
Passo 6
Parte (d): risco de extrapolar para
(R$
).
- Primeiro, cálculo ilustrativo (mostrar por que o número pode parecer atraente, mas perigoso):
ou seja mil unidades = unidades (previsão numérica se simplesmente aplicar a reta). - Lista dos riscos e razões técnicas e práticas:
- Extrapolação além da faixa de dados: se os dados usados no ajuste não chegam perto de
, o comportamento do relacionamento fora da faixa observada é desconhecido; a relação pode deixar de ser linear. - Efeito de saturação/diminuição de retornos: em marketing é comum existir saturação (mais gasto não gera aumento proporcional de demanda) — a relação pode achatar.
- Limites de mercado: capacidade produtiva, tamanho do mercado ou estoque podem impedir que a demanda alcance valores tão altos.
- Intervalos de previsão largos: mesmo que a reta dê um número, o erro padrão da previsão cresce fora da amostra, tornando a previsão pouco confiável.
- Mudanças estruturais: campanhas muito grandes podem ter efeitos qualitativamente diferentes (ex.: mudança de público-alvo, resposta da concorrência).
- Suposições do modelo podem falhar: heteroscedasticidade, não linearidade, variáveis omitidas, ou efeitos temporais não considerados.
- Extrapolação além da faixa de dados: se os dados usados no ajuste não chegam perto de
- Recomendações rápidas (o que fazer antes de aceitar tal previsão):
- Checar a faixa dos dados usados no ajuste; coletar dados para investimentos elevados se possível.
- Considerar modelos não lineares (por exemplo modelos de saturação) ou adicionar termos (quadrático, logarítmico).
- Calcular intervalos de previsão e examinar se a previsão é plausível economicamente.
Passo 7
Resumo motivador: a conta é simples e foi feita passo a passo — respira fundo: com prática isso vira automático. Se precisar, faço as contas usando outros valores de
para treinar e mostrarei como montar um intervalo de confiança para a previsão.
Resposta
(a)
(mil unidades)
unidades.
(b) significa que
da variação observada na demanda (nas observações usadas) é explicada pelo investimento em publicidade;
permanece sem explicação pelo modelo.
(c) (mil unidades)
unidades. Em princípio é a demanda prevista sem publicidade (demanda-base), mas a interpretação exige cautela (depende da presença de dados próximos a
, significância do intercepto e de possíveis variáveis omitidas).
(d) Aplicando a equação obteríamos (mil unidades)
unidades para
, porém esse é um caso de extrapolação perigosa: a relação pode não ser linear fora da amostra, existe risco de saturação, limites de mercado, grandes intervalos de previsão e violação das suposições do modelo — logo a previsão é pouco confiável sem dados/ajuste adicionais.
(b)
(c)
(d) Aplicando a equação obteríamos