Questão 7. Uma empresa coletou dados sobre o tamanho do lote produzido (x) e o custo total (y) em reais:
1
2
3
4
5
6
Lote (x)
100
200
300
400
500
600
Custo total R$(y)
1.500
2.300
3.100
4.050
4.900
5.800
a) Calcule os coeficientes da reta de regressão
, apresentando as fórmulas e os cálculos intermediários.
b) Interprete o significado dos coeficientes a (intercepto) e b (inclinação) no contexto do problema.
c) Utilize a equação para estimar o custo de um lote de 450 unidades.
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | |
| Lote (x) | 100 | 200 | 300 | 400 | 500 | 600 |
| Custo total R$(y) | 1.500 | 2.300 | 3.100 | 4.050 | 4.900 | 5.800 |
b) Interprete o significado dos coeficientes a (intercepto) e b (inclinação) no contexto do problema.
c) Utilize a equação para estimar o custo de um lote de 450 unidades.
Passo 1
O enunciado fornece 6 observações do tamanho do lote
(número de unidades) e do custo total
(em reais). Os pares são:
O que o enunciado pede:
- (a) Calcular os coeficientes da reta de regressão
, mostrando fórmulas e cálculos intermediários. - (b) Interpretar o significado dos coeficientes
(intercepto) e (inclinação) no contexto. - (c) Usar a equação para estimar o custo de um lote de
unidades.
Passo 2
Explicando a ideia e as fórmulas que vamos usar (passo-a-passo didático). Queremos a reta que melhor ajusta os pontos pelo método dos mínimos quadrados: ela minimiza a soma dos quadrados dos resíduos
. As fórmulas fechadas para os coeficientes são:
Explicação das notações:
-
é o número de observações (aqui ). -
é a soma dos valores de . -
é a soma dos valores de . -
é a soma dos produtos . -
é a soma dos quadrados de .
O coeficiente
mede a variação média de
quando
aumenta em uma unidade (ou seja, é o custo adicional por uma unidade extra produzida). O coeficiente
é o valor estimado de
quando
(interpretação prática: custo fixo estimado), com a advertência de que extrapolações fora do intervalo observado devem ser feitas com cuidado.
Passo 3
Calcular as somas necessárias (peguei estes valores diretamente da tabela de observações):
Calcular
(cada
mostrado):
Calcular
(cada produto mostrado):
Passo 4
Aplicar a fórmula de
. Primeiro calculo do numerador e denominador:
Calcular os termos:
Logo
Agora o denominador:
Calcular os termos:
Logo
Portanto
Ou seja,
(reais por unidade).
Passo 5
Calcular
usando a fórmula:
Calcular
:
Portanto
Ou seja,
reais.
Passo 6
Escrevendo a reta estimada com os valores obtidos:
Explicação de unidades:
está em unidades produzidas;
em reais.
Passo 7
Interpretação dos coeficientes no contexto (didático e prático):
- Intercepto
reais: é a estimativa do custo total quando o lote é . Na prática, isso representa o custo fixo aproximado (despesas que ocorrem mesmo sem produzir unidades), mas atenção: é uma extrapolação para — aqui os dados começam em , então interpretar como custo fixo é razoável, porém sempre com cautela. - Inclinação
reais por unidade: significa que, segundo o ajuste, cada unidade adicional produzida aumenta o custo total em cerca de reais. Em termos mais práticos: aumentar o lote em unidades aumenta o custo total em aproximadamente reais.
Passo 8
Estimativa do custo para
. Usar a equação
:
Calcular
:
Somando
:
Arredondando para centavos:
Observação:
está dentro do intervalo dos dados observados (
a
), logo essa é uma interpolação razoável.
Resposta
(a)
,
(b) é o custo fixo estimado (custo total quando
, cerca de
R$);
é o custo adicional por unidade produzida (aprox.
R$ por unidade).
(c) Estimativa para :
(b)
(c) Estimativa para