Questão 7. Uma empresa coletou dados sobre o tamanho do lote produzido (x) e o custo total (y) em reais:
1 2 3 4 5 6
Lote (x) 100 200 300 400 500 600
Custo total R$(y) 1.500 2.300 3.100 4.050 4.900 5.800
a) Calcule os coeficientes da reta de regressão \hat{y}=a+b x, apresentando as fórmulas e os cálculos intermediários.
b) Interprete o significado dos coeficientes a (intercepto) e b (inclinação) no contexto do problema.
c) Utilize a equação para estimar o custo de um lote de 450 unidades.

Passo 1

O enunciado fornece 6 observações do tamanho do lote x (número de unidades) e do custo total y (em reais). Os pares são:
(100,\,1500),\;(200,\,2300),\;(300,\,3100),\;(400,\,4050),\;(500,\,4900),\;(600,\,5800).
O que o enunciado pede:
  • (a) Calcular os coeficientes da reta de regressão \hat{y}=a+b x, mostrando fórmulas e cálculos intermediários.
  • (b) Interpretar o significado dos coeficientes a (intercepto) e b (inclinação) no contexto.
  • (c) Usar a equação para estimar o custo de um lote de 450 unidades.

Passo 2

Explicando a ideia e as fórmulas que vamos usar (passo-a-passo didático). Queremos a reta que melhor ajusta os pontos pelo método dos mínimos quadrados: ela minimiza a soma dos quadrados dos resíduos y_i-\hat{y}_i. As fórmulas fechadas para os coeficientes são:
b=\frac{n\sum x_i y_i - \left(\sum x_i\right)\left(\sum y_i\right)}{n\sum x_i^2 - \left(\sum x_i\right)^2}, \qquad a=\frac{\sum y_i - b\sum x_i}{n}.
Explicação das notações:
  • n é o número de observações (aqui n=6).
  • \sum x_i é a soma dos valores de x.
  • \sum y_i é a soma dos valores de y.
  • \sum x_i y_i é a soma dos produtos x_i y_i.
  • \sum x_i^2 é a soma dos quadrados de x_i.
O coeficiente b mede a variação média de y quando x aumenta em uma unidade (ou seja, é o custo adicional por uma unidade extra produzida). O coeficiente a é o valor estimado de y quando x=0 (interpretação prática: custo fixo estimado), com a advertência de que extrapolações fora do intervalo observado devem ser feitas com cuidado.

Passo 3

Calcular as somas necessárias (peguei estes valores diretamente da tabela de observações):
\sum x_i = 100+200+300+400+500+600 = 2100.
\sum y_i = 1500+2300+3100+4050+4900+5800 = 21650.
Calcular \sum x_i^2 (cada x_i^2 mostrado):
100^2=10000,\;200^2=40000,\;300^2=90000,\;400^2=160000,\;500^2=250000,\;600^2=360000,
\sum x_i^2 = 10000+40000+90000+160000+250000+360000 = 910000.
Calcular \sum x_i y_i (cada produto mostrado):
100\cdot1500=150000,\;200\cdot2300=460000,\;300\cdot3100=930000,
400\cdot4050=1620000,\;500\cdot4900=2450000,\;600\cdot5800=3480000,
\sum x_i y_i = 150000+460000+930000+1620000+2450000+3480000 = 9090000.

Passo 4

Aplicar a fórmula de b. Primeiro calculo do numerador e denominador:
\text{numerador} = n\sum x_i y_i - \left(\sum x_i\right)\left(\sum y_i\right) =6\cdot9090000 - 2100\cdot21650.
Calcular os termos:
6\cdot9090000 = 54540000, \qquad 2100\cdot21650 = 45465000.
Logo
\text{numerador} = 54540000 - 45465000 = 9075000.
Agora o denominador:
\text{denominador} = n\sum x_i^2 - \left(\sum x_i\right)^2 =6\cdot910000 - 2100^2.
Calcular os termos:
6\cdot910000 = 5460000, \qquad 2100^2 = 4410000.
Logo
\text{denominador} = 5460000 - 4410000 = 1050000.
Portanto
b=\frac{9075000}{1050000}=\frac{9075}{1050}=\frac{121}{14}\approx 8,642857\ldots
Ou seja, b=\dfrac{121}{14}\approx 8,642857 (reais por unidade).

Passo 5

Calcular a usando a fórmula:
a=\frac{\sum y_i - b\sum x_i}{n} =\frac{21650 - \dfrac{121}{14}\cdot2100}{6}.
Calcular b\sum x_i:
\dfrac{121}{14}\cdot2100 = 121\cdot\frac{2100}{14} = 121\cdot150 = 18150.
Portanto
a=\frac{21650 - 18150}{6}=\frac{3500}{6}=\frac{1750}{3}\approx 583,333\ldots
Ou seja, a=\dfrac{1750}{3}\approx 583,333 reais.

Passo 6

Escrevendo a reta estimada com os valores obtidos:
\hat{y}=a+b x=\frac{1750}{3}+\frac{121}{14}\,x \approx 583,333 + 8,642857\,x.
Explicação de unidades: x está em unidades produzidas; \hat{y} em reais.

Passo 7

Interpretação dos coeficientes no contexto (didático e prático):
  • Intercepto a=\dfrac{1750}{3}\approx 583{,}33 reais: é a estimativa do custo total quando o lote é x=0. Na prática, isso representa o custo fixo aproximado (despesas que ocorrem mesmo sem produzir unidades), mas atenção: é uma extrapolação para x=0 — aqui os dados começam em x=100, então interpretar a como custo fixo é razoável, porém sempre com cautela.
  • Inclinação b=\dfrac{121}{14}\approx 8{,}642857 reais por unidade: significa que, segundo o ajuste, cada unidade adicional produzida aumenta o custo total em cerca de 8{,}64 reais. Em termos mais práticos: aumentar o lote em 100 unidades aumenta o custo total em aproximadamente 100\cdot8{,}642857\approx 864{,}29 reais.

Passo 8

Estimativa do custo para x=450. Usar a equação \hat{y}=a+b x:
\hat{y}(450)=\frac{1750}{3}+\frac{121}{14}\cdot450.
Calcular \dfrac{121}{14}\cdot450:
\frac{121\cdot450}{14}=\frac{54450}{14}=3889{,}285714\ldots
Somando a:
\hat{y}(450)=583{,}333\ldots + 3889{,}285714\ldots = 4472{,}619047\ldots
Arredondando para centavos:
\hat{y}(450)\approx 4472{,}62\\ \text{reais}.
Observação: x=450 está dentro do intervalo dos dados observados ( 100 a 600), logo essa é uma interpolação razoável.

Resposta

(a) a=\dfrac{1750}{3}\approx 583{,}333, \;b=\dfrac{121}{14}\approx 8{,}642857.
(b) a é o custo fixo estimado (custo total quando x=0, cerca de 583{,}33 R$); b é o custo adicional por unidade produzida (aprox. 8{,}64 R$ por unidade).
(c) Estimativa para x=450: \hat{y}(450)\approx 4472{,}62\\ \text{reais}.

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