Encontrando quartis Nos exercícios 11 a 14, (a) encontre os quartis, (b) encontre a amplitude interquartil e (c) identifique quaisquer outliers.
\begin{array}{llllllllll}42 & 53 & 13 & 62 & 82 & 64 & 13 & 74 & 04 & 84\end{array}
\begin{array}{llllllllll}19 & 38 & 36 & 56 & 43 & 34 & 52 & 38 & 50 & 43\end{array}

Passo 1

O enunciado pede: (a) encontrar os quartis, (b) encontrar a amplitude interquartil e (c) identificar quaisquer outliers do conjunto de dados fornecido. Os dados dados são:
\begin{array}{llllllllll}42 & 53 & 13 & 62 & 82 & 64 & 13 & 74 & 04 & 84\end{array}
\begin{array}{llllllllll}19 & 38 & 36 & 56 & 43 & 34 & 52 & 38 & 50 & 43\end{array}
Vou trabalhar com esses vinte valores exatamente como aparecem acima (observe que \,04 é o número \,4).

Passo 2

Primeiro passo prático: ordenar os dados em ordem crescente. Sempre que formos calcular medianas e quartis, precisamos dos dados ordenados porque quartis são posições na ordenação.
Ordenando, obtemos:
4,\;13,\;13,\;19,\;34,\;36,\;38,\;38,\;42,\;43,\;43,\;50,\;52,\;53,\;56,\;62,\;64,\;74,\;82,\;84
Conte: são \,20 observações.

Passo 3

Agora vamos lembrar do que é a mediana (quartil Q_2). A mediana é o valor que separa a metade inferior da metade superior dos dados.
  • Se o número de observações n for ímpar, a mediana é o elemento central.
  • Se n for par, a mediana é a média aritmética dos dois elementos centrais.
    Aqui n=20 (par), então a mediana é a média do 10^\text{o} e do 11^\text{o} valores da lista ordenada.
    O 10^\text{o} valor é \,43 e o 11^\text{o} valor é \,43. Logo
Q_2=\frac{43+43}{2}=43.

Passo 4

Definição prática de Q_1 e Q_3 (modo consistente para n par): quando n é par, dividimos o conjunto ordenado exatamente em duas metades de n/2 observações cada: a metade inferior são os primeiros n/2 valores e a metade superior são os últimos n/2 valores. Depois, Q_1 é a mediana da metade inferior e Q_3 é a mediana da metade superior.
Aqui, metade inferior (primeiros 10 valores) é:
4,\;13,\;13,\;19,\;34,\;36,\;38,\;38,\;42,\;43.
Para achar Q_1 com 10 valores (par), tomamos a média do 5^\text{o} e do 6^\text{o} valores desta metade.

Passo 5

Identificando os 5^\text{o} e 6^\text{o} valores da metade inferior:
  • 5^\text{o}=34
  • 6^\text{o}=36
    Logo
Q_1=\frac{34+36}{2}=35.
Explicação curta: Q_1 é o “ponto mediano” da metade inferior, então fica entre 34 e 36, resultando em 35.

Passo 6

Agora a metade superior (últimos 10 valores) é:
43,\;50,\;52,\;53,\;56,\;62,\;64,\;74,\;82,\;84.
Para Q_3 (mediana da metade superior com 10 valores) tomamos a média do 5^\text{o} e do 6^\text{o} valores desta metade:
  • 5^\text{o}=56
  • 6^\text{o}=62
    Logo
Q_3=\frac{56+62}{2}=59.

Passo 7

Agora que temos Q_1, Q_2 e Q_3, calculamos a amplitude interquartil (IQR). A IQR mede a dispersão do meio 50\% dos dados e é dada por:
\text{IQR}=Q_3-Q_1.
Substituindo:
\text{IQR}=59-35=24.

Passo 8

Para identificar outliers vamos usar a regra prática mais comum: valores abaixo de
Q_1-1{,}5\cdot\text{IQR}
ou acima de
Q_3+1{,}5\cdot\text{IQR}
são considerados outliers (pelo critério de 1{,}5 IQR). Calculemos os limites (fences):
\text{limite inferior}=35-1{,}5\cdot24=35-36=-1,
\text{limite superior}=59+1{,}5\cdot24=59+36=95.

Passo 9

Comparar cada observação com os limites: como todos os valores ordenados estão entre \,4 e \,84, nenhum valor é menor que -1 nem maior que 95. Portanto, pelo critério de 1{,}5 IQR, não há outliers neste conjunto de dados.

Resposta

(a) Q_1=35,\\ Q_2=43,\\ Q_3=59
(b) \text{Amplitude interquartil (IQR)}=24
(c) Nenhum outlier (limites: -1 e 95)

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