Encontrar autovalores e autovetores e determinar se o sistema é estável
\frac{d x}{d t}=\frac{-5}{2} x+2 y
\frac{d y}{d t}=\frac{3}{4} x-2 y

Passo 1

O enunciado fornece o sistema linear de duas equações diferenciais:
\frac{d x}{d t}=\frac{-5}{2} x+2 y
\frac{d y}{d t}=\frac{3}{4} x-2 y
O que se pede:
  • Encontrar os autovalores (autovalores = valores próprios) do sistema.
  • Encontrar os autovetores correspondentes a cada autovalor.
  • Determinar se o sistema é estável (e, se for, que tipo de estabilidade).
Informações relevantes dadas (coeficientes que vou usar):
  • Coeficiente de x na primeira equação: -\tfrac{5}{2}.
  • Coeficiente de y na primeira equação: 2.
  • Coeficiente de x na segunda equação: \tfrac{3}{4}.
  • Coeficiente de y na segunda equação: -2.

Passo 2

Colocar o sistema na forma matricial padrão. Escrevemos \mathbf{x} = \begin{pmatrix}x\\[4pt]y\end{pmatrix} e obtemos
\frac{d\mathbf{x}}{dt}=A\mathbf{x},
onde a matriz A é
A = \begin{pmatrix} -\tfrac{5}{2} & 2\\[4pt] \tfrac{3}{4} & -2 \end{pmatrix}.
Explicando: escrever o sistema em forma matricial organiza os coeficientes e facilita achar autovalores/autovetores usando álgebra linear.]

Passo 3

Definição e método para achar autovalores e autovetores.
  • Autovalor \lambda é um número tal que existe um vetor não nulo \mathbf{v} satisfazendo
A\mathbf{v}=\lambda\mathbf{v}.
  • Isso é equivalente a
(A-\lambda I)\mathbf{v}=\mathbf{0},
onde I é a matriz identidade.
  • Para haver solução não trivial para \mathbf{v}, precisamos que a matriz A-\lambda I seja singular, isto é, que seu determinante seja zero:
\det(A-\lambda I)=0.
  • A equação \det(A-\lambda I)=0 é chamada polinômio característico; as raízes dela são os autovalores.
    Vou calcular \det(A-\lambda I) explicitamente.

Passo 4

Calcular o polinômio característico \det(A-\lambda I).
Primeiro escrevo A-\lambda I:
A-\lambda I = \begin{pmatrix} -\tfrac{5}{2}-\lambda & 2\\[4pt] \tfrac{3}{4} & -2-\lambda \end{pmatrix}.
O determinante é
\det(A-\lambda I)=\bigl(-\tfrac{5}{2}-\lambda\bigr)\bigl(-2-\lambda\bigr)-2\cdot\tfrac{3}{4}.
Vou expandir passo a passo:
\bigl(-\tfrac{5}{2}-\lambda\bigr)\bigl(-2-\lambda\bigr) = \lambda^2+\bigl(\tfrac{9}{2}\bigr)\lambda+5,
porque
(-\tfrac{5}{2})(-2)=5,\qquad (-\tfrac{5}{2})(-\lambda)=\tfrac{5}{2}\lambda,\qquad(-\lambda)(-2)=2\lambda,
e \tfrac{5}{2}\lambda+2\lambda=\tfrac{9}{2}\lambda.
Subtraindo o produto 2\cdot\tfrac{3}{4}=\tfrac{3}{2}, obtemos
\det(A-\lambda I)=\lambda^2+\tfrac{9}{2}\lambda+5-\tfrac{3}{2} = \lambda^2+\tfrac{9}{2}\lambda+\tfrac{7}{2}.
Multiplicando tudo por 2 (para facilitar a resolução) dá
2\lambda^2+9\lambda+7=0.]

Passo 5

Resolver a equação quadrática para achar os autovalores.
A equação é
2\lambda^2+9\lambda+7=0.
Uso a fórmula quadrática \displaystyle \lambda=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}, onde a=2, b=9, c=7.
Calculo o discriminante:
\Delta = b^2-4ac = 9^2-4\cdot2\cdot7 = 81-56 = 25.
Como \Delta=25, temos raízes reais:
\lambda=\frac{-9\pm\sqrt{25}}{2\cdot2}=\frac{-9\pm5}{4}.
Portanto os dois autovalores são
\lambda_1=\frac{-9+5}{4}=\frac{-4}{4}=-1,
\lambda_2=\frac{-9-5}{4}=\frac{-14}{4}=-\tfrac{7}{2}.

Passo 6

Agora vamos achar os autovetores correspondentes. Para cada autovalor \lambda resolvemos (A-\lambda I)\mathbf{v}=\mathbf{0}.
Começo com \lambda_1=-1. Calculo A-(-1)I=A+I:
A+I=\begin{pmatrix} -\tfrac{5}{2}+1 & 2\\[4pt] \tfrac{3}{4} & -2+1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -\tfrac{3}{2} & 2\\[4pt] \tfrac{3}{4} & -1 \end{pmatrix}.
Procuramos \mathbf{v}=\begin{pmatrix}v_1\\[4pt]v_2\end{pmatrix} não nulo tal que
\begin{pmatrix} -\tfrac{3}{2} & 2\\[4pt] \tfrac{3}{4} & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}v_1\\[4pt]v_2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\[4pt]0\end{pmatrix}.
Das equações, use a primeira (é suficiente pois as duas são proporcionais):
-\tfrac{3}{2}v_1+2v_2=0.
Isolando v_2:
2v_2=\tfrac{3}{2}v_1 \quad\Rightarrow\quad v_2=\tfrac{3}{4}v_1.
Escolhendo v_1=4 (escolha feita para eliminar frações) obtemos v_2=3. Assim um autovetor associado a \lambda_1=-1 é
\mathbf{v}_1=\begin{pmatrix}4\\[4pt]3\end{pmatrix}.
Qualquer múltiplo não nulo de \mathbf{v}_1 também seria um autovetor válido.]

Passo 7

Agora o autovalor \lambda_2=-\tfrac{7}{2}. Calculo A-\lambda_2 I=A-(-\tfrac{7}{2})I=A+\tfrac{7}{2}I:
A+\tfrac{7}{2}I=\begin{pmatrix} -\tfrac{5}{2}+\tfrac{7}{2} & 2\\[4pt] \tfrac{3}{4} & -2+\tfrac{7}{2} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 2\\[4pt] \tfrac{3}{4} & \tfrac{3}{2} \end{pmatrix}.
Procuramos \mathbf{v}=\begin{pmatrix}v_1\\[4pt]v_2\end{pmatrix} tal que
\begin{pmatrix} 1 & 2\\[4pt] \tfrac{3}{4} & \tfrac{3}{2} \end{pmatrix} \begin{pmatrix}v_1\\[4pt]v_2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\[4pt]0\end{pmatrix}.
Da primeira equação:
v_1+2v_2=0 \quad\Rightarrow\quad v_1=-2v_2.
Tomando v_2=1 (escolha simples), obtemos v_1=-2. Assim um autovetor associado a \lambda_2=-\tfrac{7}{2} é
\mathbf{v}_2=\begin{pmatrix}-2\\[4pt]1\end{pmatrix}.
Novamente, qualquer múltiplo não nulo funciona também.]

Passo 8

Interpretação da estabilidade do sistema linear com base nos autovalores.
  • Para um sistema linear \dfrac{d\mathbf{x}}{dt}=A\mathbf{x}, a estabilidade do ponto de equilíbrio \mathbf{x}=\mathbf{0} é dada pela parte real dos autovalores de A.
  • Se todos os autovalores tiverem parte real negativa, o ponto \mathbf{0} é assintoticamente estável (atraidor): as soluções tendem para zero quando t\to\infty.
  • Se existir algum autovalor com parte real positiva, o ponto é instável.
  • Se todos têm parte real \le 0 e pelo menos um tem parte real 0 com multiplicidade e sem vetores suficientes, temos estabilidade não assintótica (casos mais delicados).
No nosso caso os autovalores são reais e iguais a -1 e -\tfrac{7}{2}, ambos estritamente negativos. Logo o sistema é assintoticamente estável; geometricamente, por serem autovalores reais e distintos negativos, o ponto de equilíbrio \mathbf{0} é um nó estável (sink).

Resposta

Autovalores: \lambda_1=-1 e \lambda_2=-\tfrac{7}{2}
Autovetor associado a \lambda_1=-1: \begin{pmatrix}4\\[4pt]3\end{pmatrix}
Autovetor associado a \lambda_2=-\tfrac{7}{2}: \begin{pmatrix}-2\\[4pt]1\end{pmatrix}
Estabilidade: o sistema é assintoticamente estável (nó estável).]

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