Encontrar autovalores e autovetores e determinar se o sistema é estável
Passo 1
O enunciado fornece o sistema linear de duas equações diferenciais:
O que se pede:
- Encontrar os autovalores (autovalores = valores próprios) do sistema.
- Encontrar os autovetores correspondentes a cada autovalor.
- Determinar se o sistema é estável (e, se for, que tipo de estabilidade).
Informações relevantes dadas (coeficientes que vou usar):
- Coeficiente de
na primeira equação: . - Coeficiente de
na primeira equação: . - Coeficiente de
na segunda equação: . - Coeficiente de
na segunda equação: .
Passo 2
Colocar o sistema na forma matricial padrão. Escrevemos
e obtemos
onde a matriz
é
Explicando: escrever o sistema em forma matricial organiza os coeficientes e facilita achar autovalores/autovetores usando álgebra linear.]
Passo 3
Definição e método para achar autovalores e autovetores.
- Autovalor
é um número tal que existe um vetor não nulo satisfazendo
- Isso é equivalente a
onde
é a matriz identidade.
- Para haver solução não trivial para
, precisamos que a matriz seja singular, isto é, que seu determinante seja zero:
- A equação
é chamada polinômio característico; as raízes dela são os autovalores.
Vou calcularexplicitamente.
Passo 4
Calcular o polinômio característico
.
Primeiro escrevo :
Primeiro escrevo
O determinante é
Vou expandir passo a passo:
porque
e
.
Subtraindo o produto , obtemos
Subtraindo o produto
Multiplicando tudo por
(para facilitar a resolução) dá
Passo 5
Resolver a equação quadrática para achar os autovalores.
A equação é
A equação é
Uso a fórmula quadrática
, onde
,
,
.
Calculo o discriminante:
Calculo o discriminante:
Como
, temos raízes reais:
Portanto os dois autovalores são
Passo 6
Agora vamos achar os autovetores correspondentes. Para cada autovalor
resolvemos
.
Começo com
. Calculo
:
Procuramos
não nulo tal que
Das equações, use a primeira (é suficiente pois as duas são proporcionais):
Isolando
:
Escolhendo
(escolha feita para eliminar frações) obtemos
. Assim um autovetor associado a
é
Qualquer múltiplo não nulo de
também seria um autovetor válido.]
Passo 7
Agora o autovalor
. Calculo
:
Procuramos
tal que
Da primeira equação:
Tomando
(escolha simples), obtemos
. Assim um autovetor associado a
é
Novamente, qualquer múltiplo não nulo funciona também.]
Passo 8
Interpretação da estabilidade do sistema linear com base nos autovalores.
- Para um sistema linear
, a estabilidade do ponto de equilíbrio é dada pela parte real dos autovalores de . - Se todos os autovalores tiverem parte real negativa, o ponto
é assintoticamente estável (atraidor): as soluções tendem para zero quando . - Se existir algum autovalor com parte real positiva, o ponto é instável.
- Se todos têm parte real
e pelo menos um tem parte real com multiplicidade e sem vetores suficientes, temos estabilidade não assintótica (casos mais delicados).
No nosso caso os autovalores são reais e iguais a
e
, ambos estritamente negativos. Logo o sistema é assintoticamente estável; geometricamente, por serem autovalores reais e distintos negativos, o ponto de equilíbrio
é um nó estável (sink).
Resposta
Autovalores:
e
Autovetor associado a
:
Autovetor associado a
:
Estabilidade: o sistema é assintoticamente estável (nó estável).]
Estabilidade: o sistema é assintoticamente estável (nó estável).]