Encontrar autovalores e autovetores e determinar se o sistema é estável
Passo 1
O enunciado dá o sistema diferencial
e pede:
- Encontrar os autovalores do sistema (os valores
que satisfazem a equação característica). - Encontrar os autovetores correspondentes a cada autovalor.
- Determinar se o ponto de equilíbrio (a origem) é estável ou instável.
Informações relevantes fornecidas:
- A matriz que representa o sistema é a matriz dos coeficientes
- Não há outros dados numéricos a buscar na figura: só a matriz acima e o pedido das três coisas listadas.]
Passo 2
Conceito e fórmula que vamos usar (explicação didática curta):
- Os autovalores
de são as soluções da equação característica
onde
é a matriz identidade. Para uma matriz
,
- Cada autovalor
tem um autovetor não nulo que satisfaz
Isso é um sistema linear homogêneo; normalmente dá uma relação entre as componentes de
e escolhemos uma solução simples (qualquer múltiplo não nulo serve).
- Sobre estabilidade: para o sistema linear
, o sinal da parte real dos autovalores determina o comportamento da solução em torno da origem. Se todos os autovalores tiverem parte real negativa, a origem é assintoticamente estável (atraente); se algum autovalor tiver parte real positiva, a origem é instável. No caso de autovalores reais e positivos, a origem é um nó instável (soluções crescem exponencialmente).]
Passo 3
Calcular o polinômio característico de
.
Aplicando a fórmula do determinante para :
Aplicando a fórmula do determinante para
Agora expandir e simplificar passo a passo:
logo
Portanto o polinômio característico é
Passo 4
Resolver a equação quadrática
.
Podemos tentar fatorar: procuramos números cuja soma seja e produto
; são
e
. Assim
Podemos tentar fatorar: procuramos números cuja soma seja
Logo as raízes (autovalores) são
Comentário pedagógico: as duas raízes são reais e distintas; isso facilita pois teremos dois autovetores linearmente independentes.
Passo 5
Encontrar o autovetor associado a
.
Resolvemos , isto é
Resolvemos
Escrevendo as equações:
As duas equações são equivalentes e dão
. Podemos então escolher um autovetor simples tomando
,
. Assim um autovetor associado a
é
e qualquer múltiplo escalar de
também é autovetor.]
Passo 6
Encontrar o autovetor associado a
.
Resolvemos , isto é
Resolvemos
As equações são
Daí
. Tomando
(escolha simples), obtemos o autovetor
Novamente, qualquer múltiplo escalar de
também é autovetor.]
Passo 7
Interpretação dinâmica e estabilidade (com explicação didática):
- A solução geral do sistema linear pode ser escrita (quando existem dois autovetores independentes) como combinação linear das soluções fundamentais:
- Aqui
e . Ambas são reais e positivas, então os fatores e crescem exponencialmente quando . Isso significa que pequenas perturbações ao redor da origem crescem com o tempo: a origem é instável. - Mais precisamente, como os dois autovalores são reais, distintos e positivos, o ponto de equilíbrio na origem é um nó próprio instável (às vezes chamado de “nó fonte”): todas as trajetórias (exceto as que estejam exatamente na direção negativa dos autovetores no passado) se afastam da origem conforme
aumenta.
Pequeno reforço de memória (útil para a prova):
- Se todos os autovalores têm parte real negativa → origem assintoticamente estável (nó estável ou foco estável).
- Se existe ao menos um autovalor com parte real positiva → origem instável.
- Se autovalores têm sinais opostos (um positivo, outro negativo) → saddle (ponto de sela), instável.
Resposta
Autovalores:
Autovetores:
correspondente a
;
Estabilidade: a origem é instável (nó próprio instável), pois ambos os autovalores são reais e positivos.]