Encontrar autovalores e autovetores e determinar se o sistema é estável
\frac{d x}{d t}=5 x+y
\frac{d y}{d t}=-2 x+3 y

Passo 1

Enunciado claro e dados que temos:
  • O sistema linear a estudar é
\frac{d x}{d t}=5x+y, \qquad \frac{d y}{d t}=-2x+3y.
  • Podemos escrever isso na forma matricial \dot{u}=A u com u=\begin{pmatrix}x\y\end{pmatrix} e
A=\begin{pmatrix}5 & 1\\[4pt]-2 & 3\end{pmatrix}.
O que o enunciado pede:
  1. Encontrar os autovalores (valores próprios) de A.
  2. Encontrar autovetores correspondentes.
  3. Determinar se o equilíbrio u=0 é estável ou instável.]

Passo 2

Como calcular autovalores: são as soluções \lambda da equação caracteristica \det(A-\lambda I)=0. Vamos montar e calcular o determinante passo a passo:
A-\lambda I=\begin{pmatrix}5-\lambda & 1\\[4pt]-2 & 3-\lambda\end{pmatrix}.
O determinante é
\det(A-\lambda I)=(5-\lambda)(3-\lambda)-1\cdot(-2).
Agora desenvolvendo:
(5-\lambda)(3-\lambda)+2 = 15-5\lambda-3\lambda+\lambda^2+2 = \lambda^2-8\lambda+17.
Logo a equação característica é
\lambda^2-8\lambda+17=0.]

Passo 3

Resolver a equação quadrática \lambda^2-8\lambda+17=0 usando fórmula de Bhaskara. O discriminante é
\Delta = (-8)^2-4\cdot1\cdot17 = 64-68 = -4.
Como \Delta<0, as raízes serão complexas:
\lambda=\frac{8\pm\sqrt{-4}}{2}=\frac{8\pm 2\mathrm{i}}{2}=4\pm \mathrm{i}.
Portanto os autovalores são \lambda_{1}=4+\mathrm{i} e \lambda_{2}=4-\mathrm{i}. Observação didática: ter parte real positiva ( 4) já dá uma pista sobre instabilidade — vamos formalizar isso mais adiante.

Passo 4

Encontrar um autovetor para \lambda_{1}=4+\mathrm{i}: resolver (A-\lambda_{1}I)v=0.
Escrevendo a matriz:
A-(4+\mathrm{i})I=\begin{pmatrix}5-(4+\mathrm{i}) & 1\\[4pt]-2 & 3-(4+\mathrm{i})\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}1-\mathrm{i} & 1\\[4pt]-2 & -1-\mathrm{i}\end{pmatrix}.
Se v=\begin{pmatrix}v_1\v_2\end{pmatrix}, o sistema linear é
(1-\mathrm{i})v_1 + v_2 = 0,
-2v_1 + (-1-\mathrm{i})v_2 = 0.
Da primeira equação vem
v_2 = -(1-\mathrm{i})v_1.
Para obter um autovetor não nulo escolhemos v_1=1 (escolha simples e válida). Assim
v^{(1)}=\begin{pmatrix}1\\[4pt]-1+\mathrm{i}\end{pmatrix}.
Pode-se verificar (substituindo) que essa escolha satisfaz também a segunda equação, como deve acontecer (as duas equações são dependentes quando \lambda é autovalor).]

Passo 5

Para o autovalor conjugado \lambda_{2}=4-\mathrm{i} o autovetor correspondente é o conjugado complexo do anterior (isto é geral para matrizes reais). Assim podemos escolher
v^{(2)}=\overline{v^{(1)}}=\begin{pmatrix}1\\[4pt]-1-\mathrm{i}\end{pmatrix}.]

Passo 6

Interpretação e estabilidade do sistema — regra prática importante:
  • Para um sistema linear \dot{u}=Au com autovalores \lambda_j, o equilíbrio u=0 é assintoticamente estável se todas as partes reais \Re(\lambda_j) forem negativas.
  • Se alguma \Re(\lambda_j)>0 então o equilíbrio é instável.
    No nosso caso os autovalores são 4\pm \mathrm{i}, ambos com parte real \Re(\lambda)=4>0. Portanto o equilíbrio u=0 é instável. Mais precisamente, como os autovalores são complexos com parte real positiva, o comportamento é de espiral que se afasta do ponto de equilíbrio (um “fonte espiral” ou “foco instável”).

Passo 7

(Passinho extra para visualizar a solução real) Podemos obter duas soluções reais independentes a partir do autovetor complexo v^{(1)}. Escrevendo v^{(1)}=a+\mathrm{i}b com
a=\begin{pmatrix}1\\[4pt]-1\end{pmatrix},\qquad b=\begin{pmatrix}0\\[4pt]1\end{pmatrix},
a solução geral em termos reais é
u(t)=e^{4t}\Big[ C_1\big(a\cos t - b\sin t\big) + C_2\big(a\sin t + b\cos t\big)\Big],
com C_1,C_2 constantes reais. Essa forma mostra claramente o fator e^{4t} (crescimento exponencial) combinado com oscilações \cos t,\sin t: espiral divergente.]

Resposta

Autovalores: \lambda_{1,2}=4\pm \mathrm{i}
Autovetor para \lambda_{1}=4+\mathrm{i}: v^{(1)}=\begin{pmatrix}1\\[4pt]-1+\mathrm{i}\end{pmatrix}
Autovetor para \lambda_{2}=4-\mathrm{i}: v^{(2)}=\begin{pmatrix}1\\[4pt]-1-\mathrm{i}\end{pmatrix}
Estabilidade: o equilíbrio u=0 é instável (fonte espiral).]

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