Podemos escrever isso na forma matricial \dot{u}=A u com u=\begin{pmatrix}x\y\end{pmatrix} e
A=\begin{pmatrix}5 & 1\\[4pt]-2 & 3\end{pmatrix}.
O que o enunciado pede:
Encontrar os autovalores (valores próprios) de A.
Encontrar autovetores correspondentes.
Determinar se o equilíbrio u=0 é estável ou instável.]
Passo 2
Como calcular autovalores: são as soluções \lambda da equação caracteristica \det(A-\lambda I)=0. Vamos montar e calcular o determinante passo a passo:
Portanto os autovalores são \lambda_{1}=4+\mathrm{i} e \lambda_{2}=4-\mathrm{i}. Observação didática: ter parte real positiva (4) já dá uma pista sobre instabilidade — vamos formalizar isso mais adiante.
Passo 4
Encontrar um autovetor para \lambda_{1}=4+\mathrm{i}: resolver (A-\lambda_{1}I)v=0.
Escrevendo a matriz:
Pode-se verificar (substituindo) que essa escolha satisfaz também a segunda equação, como deve acontecer (as duas equações são dependentes quando \lambda é autovalor).]
Passo 5
Para o autovalor conjugado \lambda_{2}=4-\mathrm{i} o autovetor correspondente é o conjugado complexo do anterior (isto é geral para matrizes reais). Assim podemos escolher
Interpretação e estabilidade do sistema — regra prática importante:
Para um sistema linear \dot{u}=Au com autovalores \lambda_j, o equilíbrio u=0 é assintoticamente estável se todas as partes reais \Re(\lambda_j) forem negativas.
Se alguma \Re(\lambda_j)>0 então o equilíbrio é instável.
No nosso caso os autovalores são 4\pm \mathrm{i}, ambos com parte real \Re(\lambda)=4>0. Portanto o equilíbrio u=0 é instável. Mais precisamente, como os autovalores são complexos com parte real positiva, o comportamento é de espiral que se afasta do ponto de equilíbrio (um “fonte espiral” ou “foco instável”).
Passo 7
(Passinho extra para visualizar a solução real) Podemos obter duas soluções reais independentes a partir do autovetor complexo v^{(1)}. Escrevendo v^{(1)}=a+\mathrm{i}b com
u(t)=e^{4t}\Big[ C_1\big(a\cos t - b\sin t\big) + C_2\big(a\sin t + b\cos t\big)\Big],
com C_1,C_2 constantes reais. Essa forma mostra claramente o fator e^{4t} (crescimento exponencial) combinado com oscilações \cos t,\sin t: espiral divergente.]
Resposta
Autovalores: \lambda_{1,2}=4\pm \mathrm{i}
Autovetor para \lambda_{1}=4+\mathrm{i}: v^{(1)}=\begin{pmatrix}1\\[4pt]-1+\mathrm{i}\end{pmatrix}
Autovetor para \lambda_{2}=4-\mathrm{i}: v^{(2)}=\begin{pmatrix}1\\[4pt]-1-\mathrm{i}\end{pmatrix}
Estabilidade: o equilíbrio u=0 é instável (fonte espiral).]