Encontrar autovalores e autovetores e determinar se o sistema é estável \frac{d x}{d t}=4 x+5 y \frac{d y}{d t}=-2 x+6 y
Passo 1
O enunciado dá um sistema linear de duas equações diferenciais de primeira ordem e pede três coisas:
Encontrar os autovalores.
Encontrar os autovetores.
Determinar se o sistema é estável.
As equações fornecidas são:
\frac{dx}{dt}=4x+5y, \qquad \frac{dy}{dt}=-2x+6y.
Vou tratar isto como um sistema linear \dfrac{d\mathbf{u}}{dt}=A\mathbf{u}, onde \mathbf{u}=\begin{pmatrix}x\\[4pt]y\end{pmatrix} e A é a matriz dos coeficientes. A partir daí vamos calcular o polinômio característico \det(A-\lambda I)=0 para achar os autovalores \lambda, e depois resolver (A-\lambda I)\mathbf{v}=0 para cada autovalor a fim de obter os autovetores \mathbf{v}. Por fim, interpretamos a parte real dos autovalores para decidir estabilidade.]
Passo 2
Escrever a matriz do sistema. Peguei os coeficientes das equações dadas e montei a matriz:
A=\begin{pmatrix}4 & 5\\[4pt]-2 & 6\end{pmatrix}.
Aqui cada linha corresponde às equações: primeira linha (4,5) para \dfrac{dx}{dt} e segunda linha (-2,6) para \dfrac{dy}{dt}.]
Passo 3
Calcular o polinômio característico \det(A-\lambda I)=0.
(A escala poderia ser diferente; qualquer múltiplo complexo de \mathbf{v}_1 também é autovetor válido.)]
Passo 6
O autovetor associado a \lambda_2=5-3i é o conjugado do autovetor de \lambda_1 porque a matriz A tem entradas reais. Assim um autovetor correspondente a \lambda_2 é
Pode-se verificar resolvendo (A-\lambda_2 I)\mathbf{v}_2=0 da mesma forma.]
Passo 7
Interpretar estabilidade a partir dos autovalores. Para um sistema linear \dfrac{d\mathbf{u}}{dt}=A\mathbf{u} com autovalores complexos \alpha\pm i\beta:
se \alpha<0, a origem é assintoticamente estável (espiral atrator);
se \alpha>0, a origem é instável (espiral repulsor);
se \alpha=0 e \beta\neq0, comportamento limite (centro), neutramente estável (dependendo de multiplicidade).
Aqui os autovalores são 5\pm 3i, então a parte real é \alpha=5>0. Isso significa que as soluções têm fator exponencial e^{5t} multiplicado por uma oscilação com frequência 3 (vindo de e^{3it}), portanto as órbitas espiralam para fora quando t\to+\infty. Conclusão: o ponto de equilíbrio \mathbf{0} é instável; mais precisamente é um foco/espiral repulsor.
Resposta
Autovalores: \lambda_1=5+3i,\\ \lambda_2=5-3i
Autovetores: \mathbf{v}_1=\begin{pmatrix}1-3i\\[4pt]2\end{pmatrix},\\ \mathbf{v}_2=\begin{pmatrix}1+3i\\[4pt]2\end{pmatrix}
Estabilidade: sistema instável (espiral repulsor, pois todas as partes reais dos autovalores são 5>0).]