Encontrar autovalores e autovetores e determinar se o sistema é estável
\frac{d x}{d t}=4 x+5 y
\frac{d y}{d t}=-2 x+6 y

Passo 1

O enunciado dá um sistema linear de duas equações diferenciais de primeira ordem e pede três coisas:
  • Encontrar os autovalores.
  • Encontrar os autovetores.
  • Determinar se o sistema é estável.
As equações fornecidas são:
\frac{dx}{dt}=4x+5y, \qquad \frac{dy}{dt}=-2x+6y.
Vou tratar isto como um sistema linear \dfrac{d\mathbf{u}}{dt}=A\mathbf{u}, onde \mathbf{u}=\begin{pmatrix}x\\[4pt]y\end{pmatrix} e A é a matriz dos coeficientes. A partir daí vamos calcular o polinômio característico \det(A-\lambda I)=0 para achar os autovalores \lambda, e depois resolver (A-\lambda I)\mathbf{v}=0 para cada autovalor a fim de obter os autovetores \mathbf{v}. Por fim, interpretamos a parte real dos autovalores para decidir estabilidade.]

Passo 2

Escrever a matriz do sistema. Peguei os coeficientes das equações dadas e montei a matriz:
A=\begin{pmatrix}4 & 5\\[4pt]-2 & 6\end{pmatrix}.
Aqui cada linha corresponde às equações: primeira linha (4,5) para \dfrac{dx}{dt} e segunda linha (-2,6) para \dfrac{dy}{dt}.]

Passo 3

Calcular o polinômio característico \det(A-\lambda I)=0.
Primeiro escrevo A-\lambda I:
A-\lambda I=\begin{pmatrix}4-\lambda & 5\\[4pt]-2 & 6-\lambda\end{pmatrix}.
O determinante é
\det(A-\lambda I)=(4-\lambda)(6-\lambda)- (5)(-2).
Vou desenvolver cuidadosamente:
(4-\lambda)(6-\lambda)=24-4\lambda-6\lambda+\lambda^2=\lambda^2-10\lambda+24.
E como 5\cdot(-2)=-10, então
\det(A-\lambda I)=\lambda^2-10\lambda+24-(-10)=\lambda^2-10\lambda+24+10.
Portanto
\det(A-\lambda I)=\lambda^2-10\lambda+34.
O polinômio característico é
\lambda^2-10\lambda+34=0.]

Passo 4

Resolver a equação quadrática para \lambda usando a fórmula de Bhaskara. Para uma quadrática \lambda^2+b\lambda+c=0 a solução é
\lambda=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4c}}{2}.
No nosso caso b=-10 (observe o sinal na forma padrão) ou aplicando diretamente,
\lambda=\frac{10\pm\sqrt{(-10)^2-4\cdot1\cdot34}}{2}=\frac{10\pm\sqrt{100-136}}{2}.
Calculo discriminante:
100-136=-36.
Logo a raiz quadrada é \sqrt{-36}=6i. Assim
\lambda=\frac{10\pm 6i}{2}=5\pm 3i.
Conclusão: os autovalores são complexos conjugados \lambda_1=5+3i e \lambda_2=5-3i. Note que a parte real comum é 5>0.

Passo 5

Encontrar um autovetor correspondente a \lambda_1=5+3i. Temos que resolver (A-\lambda_1 I)\mathbf{v}=0.
Escrevo A-\lambda_1 I:
A-\lambda_1 I=\begin{pmatrix}4-(5+3i) & 5\\[4pt]-2 & 6-(5+3i)\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}-1-3i & 5\\[4pt]-2 & 1-3i\end{pmatrix}.
Se \mathbf{v}=\begin{pmatrix}u\\[4pt]v\end{pmatrix}, o sistema linear é
(-1-3i)u+5v=0, \qquad -2u+(1-3i)v=0.
As duas equações são equivalentes (pois o determinante é zero), basta usar a primeira:
(-1-3i)u+5v=0 \quad\Longrightarrow\quad (-1-3i)u=-5v \quad\Longrightarrow\quad u=\frac{-5}{-1-3i}\,v=\frac{5}{1+3i}\,v.
Agora calculo a divisão por número complexo multiplicando numerador e denominador pelo conjugado de 1+3i, que é 1-3i:
\frac{5}{1+3i}=\frac{5(1-3i)}{(1+3i)(1-3i)}=\frac{5(1-3i)}{1+9}=\frac{5(1-3i)}{10}=\frac{1}{2}-\frac{3}{2}i.
Portanto u=\left(\tfrac{1}{2}-\tfrac{3}{2}i\right)v.
Para obter um autovetor simples, escolho v=2 (escolha arbitrária, qualquer escala serve), então
u=1-3i.
Um autovetor associado a \lambda_1 é, então,
\mathbf{v}_1=\begin{pmatrix}1-3i\\[4pt]2\end{pmatrix}.
(A escala poderia ser diferente; qualquer múltiplo complexo de \mathbf{v}_1 também é autovetor válido.)]

Passo 6

O autovetor associado a \lambda_2=5-3i é o conjugado do autovetor de \lambda_1 porque a matriz A tem entradas reais. Assim um autovetor correspondente a \lambda_2 é
\mathbf{v}_2=\overline{\mathbf{v}_1}=\begin{pmatrix}1+3i\\[4pt]2\end{pmatrix}.
Pode-se verificar resolvendo (A-\lambda_2 I)\mathbf{v}_2=0 da mesma forma.]

Passo 7

Interpretar estabilidade a partir dos autovalores. Para um sistema linear \dfrac{d\mathbf{u}}{dt}=A\mathbf{u} com autovalores complexos \alpha\pm i\beta:
  • se \alpha<0, a origem é assintoticamente estável (espiral atrator);
  • se \alpha>0, a origem é instável (espiral repulsor);
  • se \alpha=0 e \beta\neq0, comportamento limite (centro), neutramente estável (dependendo de multiplicidade).
Aqui os autovalores são 5\pm 3i, então a parte real é \alpha=5>0. Isso significa que as soluções têm fator exponencial e^{5t} multiplicado por uma oscilação com frequência 3 (vindo de e^{3it}), portanto as órbitas espiralam para fora quando t\to+\infty. Conclusão: o ponto de equilíbrio \mathbf{0} é instável; mais precisamente é um foco/espiral repulsor.

Resposta

Autovalores: \lambda_1=5+3i,\\ \lambda_2=5-3i
Autovetores: \mathbf{v}_1=\begin{pmatrix}1-3i\\[4pt]2\end{pmatrix},\\ \mathbf{v}_2=\begin{pmatrix}1+3i\\[4pt]2\end{pmatrix}
Estabilidade: sistema instável (espiral repulsor, pois todas as partes reais dos autovalores são 5>0).]

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