Encontrar autovalores e autovetores e determinar se o sistema é estável
Passo 1
O enunciado dá o sistema de equações diferenciais lineares:
O que se pede:
- Encontrar os autovalores (autovalores =
) da matriz que representa o sistema. - Encontrar os autovetores correspondentes a cada autovalor.
- Determinar se o sistema é estável (e classificar o tipo de ponto de equilíbrio).
Informações relevantes dadas:
- As equações lineares são de primeira ordem e homogêneas.
- Coeficientes constantes: os termos à direita definem a matriz do sistema.
Passo 2
Escrevendo o sistema na forma matricial
, onde
, a matriz
é obtida pegando os coeficientes das variáveis nas equações. Assim:
Explicação curta (por que fazemos isso): representar o sistema como
permite usar álgebra linear — em particular autovalores e autovetores — para escrever a solução e analisar estabilidade.]
Passo 3
Definição e plano para encontrar autovalores e autovetores:
- Um autovalor
e um autovetor não-nulo satisfazem . - Para achar
resolvemos o polinômio característico . - Para cada
encontrado, resolvemos para achar .
Lembrete prático para matrizes
: se
, então
Passo 4
Calcular o polinômio característico de
:
Agora desenvolver a multiplicação e simplificar (faça cada passo na prova):
Subtraindo
:
Portanto o polinômio característico é
Passo 5
Resolver a equação quadrática
.
Usar fatoração simples ou fórmula de Bhaskara. Aqui a fatoração é direta porque e
dão soma
:
Usar fatoração simples ou fórmula de Bhaskara. Aqui a fatoração é direta porque
Logo as raízes são
Comentário didático: cada autovalor dá uma solução especial do tipo
. Os sinais dos autovalores (partes reais) controlam crescimento/decrescimento exponencial.
Passo 6
Encontrar o autovetor associado a
.
Resolvemos . Primeiro escreva
:
Resolvemos
Agora o sistema linear
dá:
As duas equações são equivalentes e implicam
. Podemos escolher um autovetor simples normalizado por conveniência; por exemplo tomamos
, então
. Assim um autovetor correspondente é
Observação: qualquer múltiplo escalar desse vetor também é autovetor.]
Passo 7
Encontrar o autovetor associado a
.
Calcular :
Calcular
Resolver
:
(ambas as linhas são iguais). Daqui
. Escolhendo
para ficar simples, obtemos
Novamente, qualquer múltiplo escalar serve como autovetor.]
Passo 8
Escrever a solução geral do sistema usando autovalores e autovetores.
Como temos dois autovalores reais distintos com autovetores linearmente independentes, a solução geral é combinação linear das soluções mode separáveis:
Como temos dois autovalores reais distintos com autovetores linearmente independentes, a solução geral é combinação linear das soluções mode separáveis:
onde
e
são constantes determinadas pelas condições iniciais
. Explicação curta: cada termo é um modo próprio que cresce ou decresce exponencialmente com taxa dada por
.]
Passo 9
Determinar estabilidade.
- Critério: para o sistema linear
, se todas as partes reais dos autovalores de são estritamente negativas então o ponto de equilíbrio é assintoticamente estável (sumidouro). Se alguma parte real é positiva, o equilíbrio é instável. Se houver autovalores com partes reais positivas e negativas, é uma sela. - Aplicando aqui: os autovalores são
e , ambos com parte real positiva.
Conclusão: o sistema é instável; mais precisamente é um nó-instável (fontes) porque os autovalores são reais, distintos e positivos. Isso significa que as soluções tipicamente crescem exponencialmente à medida que.
Resposta
O sistema é instável (nó-instável).]