Encontrar uma base e a dimensão do espaço-solução dos sistemas:
\left\{\begin{array}{c}x+y+z=0 \\\\ 2 x+2 y+2 z=0 \\\\ 3 x+3 y+3 z=0\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado nos dá um sistema homogêneo de três equações em três incógnitas x,y,z\): \[\begin{cases} x+y+z=0\\[4pt] 2x+2y+2z=0\\[4pt] 3x+3y+3z=0 \end{cases}
O que é pedido:
  • Encontrar uma base do espaço-solução (ou espaço nulo) desse sistema.
  • Determinar a dimensão desse espaço-solução.
Lista das informações relevantes:
  • Todas as três equações têm os mesmos coeficientes até um fator: a segunda é 2\] vezes a primeira e a terceira é \(3 vezes a primeira.
  • O sistema é homogêneo (lado direito igual a 0), portanto a solução trivial (0,0,0) sempre pertence ao conjunto de soluções.]

Passo 2

Vamos transformar o sistema na forma matricial para aplicar eliminação de Gauss. A matriz de coeficientes A é
A=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1\\[4pt] 2 & 2 & 2\\[4pt] 3 & 3 & 3 \end{pmatrix},
e o sistema homogêneo é A\begin{pmatrix}x\\[2pt]y\\[2pt]z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\[2pt]0\\[2pt]0\end{pmatrix}.
A eliminação de Gauss consiste em operar nas linhas para obter uma forma escalonada e assim ver quantas equações (linhas) são realmente independentes.]

Passo 3

Aplicando operações elementares nas linhas de A para triangularizar:
  • Subtraio 2 vezes a primeira linha da segunda linha:
\text{L}_2 \leftarrow \text{L}_2 - 2\text{L}_1 \quad\Rightarrow\quad \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1\\[4pt] 0 & 0 & 0\\[4pt] 3 & 3 & 3 \end{pmatrix}.
  • Subtraio 3 vezes a primeira linha da terceira linha:
\text{L}_3 \leftarrow \text{L}_3 - 3\text{L}_1 \quad\Rightarrow\quad \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1\\[4pt] 0 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}.
O escalonamento mostra que há apenas uma linha não nula. Isso significa que as três equações originais não são independentes: todas são múltiplos da primeira.]

Passo 4

Definições e interpretação (explicando passo a passo): o posto (rank) de A é o número de linhas (ou colunas) linearmente independentes; após eliminação encontramos uma linha não nula, então
\text{rank}(A)=1.
Para um sistema homogêneo com n variáveis (aqui n=3), a dimensão do espaço solução (o núcleo ou nullspace) é
\dim(\ker A)=n-\text{rank}(A).
Essa fórmula é a versão prática do teorema da dimensão: número de incógnitas menos número de equações independentes dá o número de parâmetros livres (graus de liberdade) nas soluções. Substituindo:
\dim(\ker A)=3-1=2.
Logo o espaço solução tem dimensão 2: teremos duas variáveis livres (dois parâmetros).

Passo 5

Parametrização explícita (como fazer na prova): a única equação efetiva é a primeira,
x+y+z=0.
Escolhe-se duas variáveis livres; uma escolha simples é tomar y e z como parâmetros. Denote-os por s e t:
y=s,\qquad z=t.
Da equação x+y+z=0 vem
x=-y-z=-s-t.
Escrevendo a solução em forma vetorial:
\begin{pmatrix}x\\[2pt]y\\[2pt]z\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-s-t\\[4pt] s\\[4pt] t\end{pmatrix} = s\begin{pmatrix}-1\\[4pt]1\\[4pt]0\end{pmatrix} + t\begin{pmatrix}-1\\[4pt]0\\[4pt]1\end{pmatrix},
onde s,t\in\mathbb{R}.]

Passo 6

Verificação de que os vetores encontrados formam uma base:
  • Geram o espaço solução: por construção qualquer solução é combinação linear de
v_1=\begin{pmatrix}-1\\[4pt]1\\[4pt]0\end{pmatrix} \quad\text{e}\quad v_2=\begin{pmatrix}-1\\[4pt]0\\[4pt]1\end{pmatrix}.
  • São linearmente independentes: suponha a v_1 + b v_2 = 0. Isso dá
a\begin{pmatrix}-1\\[4pt]1\\[4pt]0\end{pmatrix} + b\begin{pmatrix}-1\\[4pt]0\\[4pt]1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-a-b\\[4pt]a\\[4pt]b\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0\\[4pt]0\\[4pt]0\end{pmatrix}.
Da segunda e terceira componentes obtemos a=0 e b=0. Portanto apenas a combinação trivial anula-os, logo são independentes.
Como são dois vetores independentes que geram o espaço solução e a dimensão já foi calculada como 2, esses vetores constituem de fato uma base do espaço solução.]

Passo 7

Observações finais e dica para prova: normalmente é suficiente reduzir o sistema por eliminação de Gauss até ver quantas equações independentes restam, escolher variáveis livres (uma boa escolha é tomar aquelas correspondentes a colunas sem pivô) e parametrizar. Os vetores obtidos como coeficientes dos parâmetros formam a base do espaço nulo. Aqui, as colunas sem pivô correspondem a y e z, e isso conduz diretamente aos vetores v_1 e v_2 mostrados acima.

Resposta

Base do espaço-solução: \left\{\begin{pmatrix}-1\\[4pt]1\\[4pt]0\end{pmatrix},\begin{pmatrix}-1\\[4pt]0\\[4pt]1\end{pmatrix}\right\}
Dimensão do espaço-solução: 2]

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