Encontrar uma base e a dimensão do espaço-solução dos sistemas: \left\{\begin{array}{c}x+y+z=0 \\\\ 2 x+2 y+2 z=0 \\\\ 3 x+3 y+3 z=0\end{array}\right.
Passo 1
O enunciado nos dá um sistema homogêneo de três equações em três incógnitas x,y,z\):
\[\begin{cases} x+y+z=0\\[4pt] 2x+2y+2z=0\\[4pt] 3x+3y+3z=0 \end{cases}
O que é pedido:
Encontrar uma base do espaço-solução (ou espaço nulo) desse sistema.
Determinar a dimensão desse espaço-solução.
Lista das informações relevantes:
Todas as três equações têm os mesmos coeficientes até um fator: a segunda é 2\] vezes a primeira e a terceira é \(3 vezes a primeira.
O sistema é homogêneo (lado direito igual a 0), portanto a solução trivial (0,0,0) sempre pertence ao conjunto de soluções.]
Passo 2
Vamos transformar o sistema na forma matricial para aplicar eliminação de Gauss. A matriz de coeficientes A é
e o sistema homogêneo é A\begin{pmatrix}x\\[2pt]y\\[2pt]z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\[2pt]0\\[2pt]0\end{pmatrix}.
A eliminação de Gauss consiste em operar nas linhas para obter uma forma escalonada e assim ver quantas equações (linhas) são realmente independentes.]
Passo 3
Aplicando operações elementares nas linhas de A para triangularizar:
Subtraio 2 vezes a primeira linha da segunda linha:
O escalonamento mostra que há apenas uma linha não nula. Isso significa que as três equações originais não são independentes: todas são múltiplos da primeira.]
Passo 4
Definições e interpretação (explicando passo a passo): o posto (rank) de A é o número de linhas (ou colunas) linearmente independentes; após eliminação encontramos uma linha não nula, então
\text{rank}(A)=1.
Para um sistema homogêneo com n variáveis (aqui n=3), a dimensão do espaço solução (o núcleo ou nullspace) é
\dim(\ker A)=n-\text{rank}(A).
Essa fórmula é a versão prática do teorema da dimensão: número de incógnitas menos número de equações independentes dá o número de parâmetros livres (graus de liberdade) nas soluções. Substituindo:
\dim(\ker A)=3-1=2.
Logo o espaço solução tem dimensão 2: teremos duas variáveis livres (dois parâmetros).
Passo 5
Parametrização explícita (como fazer na prova): a única equação efetiva é a primeira,
x+y+z=0.
Escolhe-se duas variáveis livres; uma escolha simples é tomar y e z como parâmetros. Denote-os por s e t:
Da segunda e terceira componentes obtemos a=0 e b=0. Portanto apenas a combinação trivial anula-os, logo são independentes.
Como são dois vetores independentes que geram o espaço solução e a dimensão já foi calculada como 2, esses vetores constituem de fato uma base do espaço solução.]
Passo 7
Observações finais e dica para prova: normalmente é suficiente reduzir o sistema por eliminação de Gauss até ver quantas equações independentes restam, escolher variáveis livres (uma boa escolha é tomar aquelas correspondentes a colunas sem pivô) e parametrizar. Os vetores obtidos como coeficientes dos parâmetros formam a base do espaço nulo. Aqui, as colunas sem pivô correspondem a y e z, e isso conduz diretamente aos vetores v_1 e v_2 mostrados acima.
Resposta
Base do espaço-solução: \left\{\begin{pmatrix}-1\\[4pt]1\\[4pt]0\end{pmatrix},\begin{pmatrix}-1\\[4pt]0\\[4pt]1\end{pmatrix}\right\}
Dimensão do espaço-solução: 2]