Breve aula prática: o conjunto de todas as soluções de A\mathbf{v}=\mathbf{0} é chamado de núcleo (ou espaço nulo) de A. Esse conjunto é um subespaço vetorial; para descrevê-lo basta encontrar um conjunto de vetores linearmente independentes que o gerem — esse conjunto é uma base do espaço-soluição. A dimensão do espaço-solução é o número de vetores nessa base.]
Passo 3
Estratégia para resolver: vamos reduzir por linhas a matriz A (eliminação de Gauss) para encontrar pivôs (variáveis básicas) e variáveis livres. A regra prática que usaremos é:
\dim(\ker A)=n-\operatorname{rank}(A),
onde n é o número de incógnitas (n=3 aqui) e \operatorname{rank}(A) é o número de pivôs (linhas linearmente independentes). Mas faremos também a parametrização explícita por variáveis livres para obter a base.
Passo 4
Aplicando operações por linhas (mostrando cada passo):
Começo com
Esta é a forma reduzida por linhas (escalonada reduzida). Os pivôs estão nas colunas 1 e 2 (correspondendo a x e y); a coluna 3 (correspondente a z) não tem pivô, portanto z é variável livre.]
Passo 6
Ler as equações equivalentes da matriz reduzida:
\begin{cases} x + 2z = 0,\\[4pt] y - z = 0. \end{cases}
Escolhendo z como parâmetro: seja z=t com t\in\mathbb{R}. Então
Explicação didática curta: a variável sem pivô (aqui z) é livre; atribuímos um parâmetro a ela e expressamos as variáveis com pivô em função desse parâmetro. O conjunto de todas essas combinações escalares de um vetor gerador dá todo o espaço-solução. Se o espaço-solução puder ser descrito como \{t\mathbf{u}:t\in\mathbb{R}\} então é uma reta através da origem e \{\mathbf{u}\} é uma base (desde que \mathbf{u}\neq\mathbf{0}). A dimensão é o número de parâmetros livres (aqui 1).]
Passo 7
Concluir a base e a dimensão: o espaço-solução é gerado pelo vetor \begin{pmatrix}-2\\[4pt]1\\[4pt]1\end{pmatrix}. Esse vetor é não-nulo, logo forma uma base do espaço-solução. A dimensão é 1.]