Encontrar uma base e a dimensão do espaço-solução dos sistemas:
\left\{\begin{array}{c}x+y+z=0 \\\\ 2 x+y+3 z=0 \\\\ 5 x+3 y+7 z=0\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  • Encontrar uma base do espaço-soluição do sistema homogêneo
\left\{\begin{array}{r} x+y+z=0,\\[4pt] 2x+y+3z=0,\\[4pt] 5x+3y+7z=0, \end{array}\right.
  • Determinar a dimensão desse espaço-soluição.
Informações dadas (as equações do sistema): as três linhas acima. Nada mais é fornecido.]

Passo 2

Escrevendo o sistema em forma matricial (coeficientes):
A=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1\\[4pt] 2 & 1 & 3\\[4pt] 5 & 3 & 7 \end{pmatrix},\qquad \text{procuramos } \mathbf{v}=\begin{pmatrix}x\\[4pt]y\\[4pt]z\end{pmatrix}\text{ tal que } A\mathbf{v}=\mathbf{0}.
Breve aula prática: o conjunto de todas as soluções de A\mathbf{v}=\mathbf{0} é chamado de núcleo (ou espaço nulo) de A. Esse conjunto é um subespaço vetorial; para descrevê-lo basta encontrar um conjunto de vetores linearmente independentes que o gerem — esse conjunto é uma base do espaço-soluição. A dimensão do espaço-solução é o número de vetores nessa base.]

Passo 3

Estratégia para resolver: vamos reduzir por linhas a matriz A (eliminação de Gauss) para encontrar pivôs (variáveis básicas) e variáveis livres. A regra prática que usaremos é:
\dim(\ker A)=n-\operatorname{rank}(A),
onde n é o número de incógnitas ( n=3 aqui) e \operatorname{rank}(A) é o número de pivôs (linhas linearmente independentes). Mas faremos também a parametrização explícita por variáveis livres para obter a base.

Passo 4

Aplicando operações por linhas (mostrando cada passo):
Começo com
\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1\\[4pt] 2 & 1 & 3\\[4pt] 5 & 3 & 7 \end{pmatrix}.
Fazer R_2\leftarrow R_2-2R_1 e R_3\leftarrow R_3-5R_1:
\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1\\[4pt] 0 & -1 & 1\\[4pt] 0 & -2 & 2 \end{pmatrix}.]

Passo 5

Continuar a eliminação: fazer R_3\leftarrow R_3-2R_2:
\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1\\[4pt] 0 & -1 & 1\\[4pt] 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}.
Agora tornar o pivô de R_2 igual a 1 multiplicando por -1: R_2\leftarrow -R_2:
\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1\\[4pt] 0 & 1 & -1\\[4pt] 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}.
Eliminar o coeficiente acima do pivô em R_1: R_1\leftarrow R_1-R_2:
\begin{pmatrix} 1 & 0 & 2\\[4pt] 0 & 1 & -1\\[4pt] 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}.
Esta é a forma reduzida por linhas (escalonada reduzida). Os pivôs estão nas colunas 1 e 2 (correspondendo a x e y); a coluna 3 (correspondente a z) não tem pivô, portanto z é variável livre.]

Passo 6

Ler as equações equivalentes da matriz reduzida:
\begin{cases} x + 2z = 0,\\[4pt] y - z = 0. \end{cases}
Escolhendo z como parâmetro: seja z=t com t\in\mathbb{R}. Então
x = -2t,\qquad y = t,\qquad z = t.
Portanto qualquer solução é
\begin{pmatrix}x\\[4pt]y\\[4pt]z\end{pmatrix} = t\begin{pmatrix}-2\\[4pt]1\\[4pt]1\end{pmatrix},\qquad t\in\mathbb{R}.
Explicação didática curta: a variável sem pivô (aqui z) é livre; atribuímos um parâmetro a ela e expressamos as variáveis com pivô em função desse parâmetro. O conjunto de todas essas combinações escalares de um vetor gerador dá todo o espaço-solução. Se o espaço-solução puder ser descrito como \{t\mathbf{u}:t\in\mathbb{R}\} então é uma reta através da origem e \{\mathbf{u}\} é uma base (desde que \mathbf{u}\neq\mathbf{0}). A dimensão é o número de parâmetros livres (aqui 1).]

Passo 7

Concluir a base e a dimensão: o espaço-solução é gerado pelo vetor \begin{pmatrix}-2\\[4pt]1\\[4pt]1\end{pmatrix}. Esse vetor é não-nulo, logo forma uma base do espaço-solução. A dimensão é 1.]

Resposta

\text{Base}=\left\{\begin{pmatrix}-2\\[4pt]1\\[4pt]1\end{pmatrix}\right\}
\dim=1]

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