Encontrar as compoentes \mathbf{T} e \mathbf{N} da aceleração, nos problemas:
x=1+t, y=1+2 t, z=1+3 t (reta)

Passo 1

O enunciado dá a trajetória paramétrica de uma partícula:
x(t)=1+t,\qquad y(t)=1+2t,\qquad z(t)=1+3t
e pede para encontrar as componentes relacionadas a \mathbf{T} e \mathbf{N} da aceleração.
Informações relevantes que temos:
  • A posição vetorial é \mathbf{r}(t)=\langle 1+t,\,1+2t,\,1+3t\rangle.
  • Não há mais dados; a parametrização é linear (reta), válida para todo t.
  • O objetivo é decompor a aceleração nas direções tangencial e normal (ou seja, obter \mathbf{T}, \mathbf{N}, e as componentes escalares a_T e a_N se aplicável).

Passo 2

Definições e fórmulas que vamos usar (explicadas de forma didática):
  • Velocidade: \mathbf{v}(t)=\dfrac{d\mathbf{r}}{dt}. É o vetor que aponta na direção da trajetória e cujo módulo é a rapidez.
  • Aceleração: \mathbf{a}(t)=\dfrac{d\mathbf{v}}{dt}.
  • Vetor unitário tangente: \mathbf{T}(t)=\dfrac{\mathbf{v}(t)}{\|\mathbf{v}(t)\|}. Sempre tem norma 1 e aponta na direção da velocidade.
  • Componente tangencial da aceleração (escalar): a_T=\dfrac{d}{dt}\|\mathbf{v}\|=\dfrac{\mathbf{v}\cdot\mathbf{a}}{\|\mathbf{v}\|}. Esta é a parte da aceleração que altera a rapidez.
  • Vetor normal principal: \mathbf{N}(t)=\dfrac{\mathbf{T}'(t)}{\|\mathbf{T}'(t)\|}, se \mathbf{T}'(t)\neq\mathbf{0}. Ele aponta para o lado em que a trajetória está curvando.
  • Componente normal da aceleração (escalar): a_N=\kappa\,\|\mathbf{v}\|^2, onde \kappa=\dfrac{\|\mathbf{T}'\|}{\|\mathbf{v}\|} é a curvatura. Alternativamente, a_N=\dfrac{\|\mathbf{v}\times\mathbf{a}\|}{\|\mathbf{v}\|}.
Agora aplicamos essas fórmulas ao caso dado.

Passo 3

Calcular \mathbf{v}(t) e \mathbf{a}(t) a partir de \mathbf{r}(t):
\mathbf{r}(t)=\langle 1+t,\,1+2t,\,1+3t\rangle
Derivando componente a componente,
\mathbf{v}(t)=\mathbf{r}'(t)=\langle 1,\,2,\,3\rangle.
Observação importante: \mathbf{v}(t) é constante (independe de t). Agora a aceleração:
\mathbf{a}(t)=\mathbf{v}'(t)=\langle 0,\,0,\,0\rangle.
Portanto a aceleração é o vetor nulo em todo t: a partícula se move com velocidade constante ao longo de uma reta.

Passo 4

Calcular o vetor unitário tangente \mathbf{T}:
  • Primeiro a rapidez (norma de \mathbf{v}):
\|\mathbf{v}\|=\sqrt{1^2+2^2+3^2}=\sqrt{1+4+9}=\sqrt{14}.
  • Logo o vetor tangente unitário é
\mathbf{T}=\dfrac{\mathbf{v}}{\|\mathbf{v}\|}=\dfrac{\langle 1,\,2,\,3\rangle}{\sqrt{14}}.
Esse vetor é constante (não depende de t) porque \mathbf{v} é constante.

Passo 5

Calcular a componente tangencial da aceleração a_T:
Usamos a fórmula
a_T=\dfrac{\mathbf{v}\cdot\mathbf{a}}{\|\mathbf{v}\|}.
Substituindo \mathbf{a}=\langle 0,0,0\rangle,
\mathbf{v}\cdot\mathbf{a}=\langle 1,2,3\rangle\cdot\langle 0,0,0\rangle=0,
portanto
a_T=0.
Interpretação: a rapidez é constante, então não há componente tangencial de aceleração.

Passo 6

Analisar o vetor normal \mathbf{N} e a componente normal a_N:
  • Como \mathbf{T} é constante (vetor constante), sua derivada é \mathbf{T}'(t)=\mathbf{0}. Isso significa que a curvatura \kappa é zero e a trajetória não tem curvatura (é uma reta).
  • Com isso, a definição \mathbf{N}=\dfrac{\mathbf{T}'}{\|\mathbf{T}'\|} não é aplicável (divisão por zero): não existe um único \mathbf{N} determinado pela curva quando ela é reta. Em palavras: para movimento retilíneo uniforme, não há direção normal definida pela curvatura.
  • A componente normal da aceleração é
a_N=\dfrac{\|\mathbf{v}\times\mathbf{a}\|}{\|\mathbf{v}\|}.
Mas como \mathbf{a}=\mathbf{0}, o produto vetorial é \mathbf{0} e assim
a_N=0.
Ou seja, não há aceleração normal.
Comentário amigável: quando a partícula vai em linha reta com velocidade constante, a aceleração é zero e a ideia de “para que lado a curva está virando” não faz sentido — por isso \mathbf{N} não é único.

Passo 7

Decomposição final da aceleração:
A fórmula geral é
\mathbf{a}=a_T\,\mathbf{T}+a_N\,\mathbf{N}.
Substituindo a_T=0 e a_N=0,
\mathbf{a}=\mathbf{0},
coerente com o cálculo direto de \mathbf{a}(t)=\langle 0,0,0\rangle.

Resposta

\displaystyle \mathbf{T}=\dfrac{\langle 1,\,2,\,3\rangle}{\sqrt{14}}
\displaystyle \mathbf{N} não está definida (a curvatura é zero para a reta; qualquer vetor unitário ortogonal a \mathbf{T} poderia ser escolhido)
\displaystyle a_T=0
\displaystyle a_N=0
\displaystyle \mathbf{a}=\langle 0,\,0,\,0\rangle

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