Encontrar as compoentes
e
da aceleração, nos problemas:
(reta)
Passo 1
O enunciado dá a trajetória paramétrica de uma partícula:
e pede para encontrar as componentes relacionadas a
e
da aceleração.
Informações relevantes que temos:
Informações relevantes que temos:
- A posição vetorial é
. - Não há mais dados; a parametrização é linear (reta), válida para todo
. - O objetivo é decompor a aceleração nas direções tangencial e normal (ou seja, obter
, , e as componentes escalares e se aplicável).
Passo 2
Definições e fórmulas que vamos usar (explicadas de forma didática):
- Velocidade:
. É o vetor que aponta na direção da trajetória e cujo módulo é a rapidez. - Aceleração:
. - Vetor unitário tangente:
. Sempre tem norma 1 e aponta na direção da velocidade. - Componente tangencial da aceleração (escalar):
. Esta é a parte da aceleração que altera a rapidez. - Vetor normal principal:
, se . Ele aponta para o lado em que a trajetória está curvando. - Componente normal da aceleração (escalar):
, onde é a curvatura. Alternativamente, .
Agora aplicamos essas fórmulas ao caso dado.
Passo 3
Calcular
e
a partir de
:
Derivando componente a componente,
Observação importante:
é constante (independe de
). Agora a aceleração:
Portanto a aceleração é o vetor nulo em todo
: a partícula se move com velocidade constante ao longo de uma reta.
Passo 4
Calcular o vetor unitário tangente
:
- Primeiro a rapidez (norma de
):
- Logo o vetor tangente unitário é
Esse vetor é constante (não depende de
) porque
é constante.
Passo 5
Calcular a componente tangencial da aceleração
:
Usamos a fórmula
Usamos a fórmula
Substituindo
,
portanto
Interpretação: a rapidez é constante, então não há componente tangencial de aceleração.
Passo 6
Analisar o vetor normal
e a componente normal
:
- Como
é constante (vetor constante), sua derivada é . Isso significa que a curvatura é zero e a trajetória não tem curvatura (é uma reta). - Com isso, a definição
não é aplicável (divisão por zero): não existe um único determinado pela curva quando ela é reta. Em palavras: para movimento retilíneo uniforme, não há direção normal definida pela curvatura. - A componente normal da aceleração é
Mas como
, o produto vetorial é
e assim
Ou seja, não há aceleração normal.
Comentário amigável: quando a partícula vai em linha reta com velocidade constante, a aceleração é zero e a ideia de “para que lado a curva está virando” não faz sentido — por isso
não é único.
Passo 7
Decomposição final da aceleração:
A fórmula geral é
A fórmula geral é
Substituindo
e
,
coerente com o cálculo direto de
.