Encontrar as compoentes \mathbf{T} e \mathbf{N} da aceleração, nos problemas:
x=t \cos t, y=t \sin t, z=0 (espiral).

Passo 1

O enunciado dá a trajetória paramétrica da partícula (espiral no plano) e pede as componentes tangencial e normal da aceleração. Dados fornecidos:
  • A posição é \mathbf{r}(t)=\langle t\cos t,\; t\sin t,\;0\rangle.
    O que se pede:
  • Encontrar a componente tangencial a_T e a componente normal a_N da aceleração e, se for útil, apresentar os vetores unitários \mathbf{T} e \mathbf{N} e a decomposição \mathbf{a}=a_T\mathbf{T}+a_N\mathbf{N}.

Passo 2

Definições e primeiras derivadas (vai ser a base):
  • Velocidade: \mathbf{v}(t)=\mathbf{r}'(t).
  • Aceleração: \mathbf{a}(t)=\mathbf{r}''(t).
    Derivando componente a componente (regra do produto e derivada das funções trigonométricas):
\mathbf{v}(t)=\mathbf{r}'(t)=\bigl\langle \cos t - t\sin t,\;\sin t + t\cos t,\;0\bigr\rangle.
\mathbf{a}(t)=\mathbf{r}''(t)=\bigl\langle -2\sin t - t\cos t,\;2\cos t - t\sin t,\;0\bigr\rangle.

Passo 3

Calcular a rapidez (módulo da velocidade) |\mathbf{v}(t)|. Isso é importante porque \mathbf{T}=\mathbf{v}/|\mathbf{v}|.
|\mathbf{v}(t)|^{2}=(\cos t - t\sin t)^{2}+(\sin t + t\cos t)^{2}.
Expandindo e somando (faça passo a passo: os termos mistos se cancelam):
(\cos t)^{2}+(\sin t)^{2}+t^{2}\bigl(\sin^{2}t+\cos^{2}t\bigr)=1+t^{2}.
Logo
|\mathbf{v}(t)|=\sqrt{1+t^{2}}.

Passo 4

Encontrar o versor tangente unitário \mathbf{T}(t):
\mathbf{T}(t)=\frac{\mathbf{v}(t)}{|\mathbf{v}(t)|}=\frac{1}{\sqrt{1+t^{2}}}\bigl\langle \cos t - t\sin t,\;\sin t + t\cos t,\;0\bigr\rangle.

Passo 5

Calcular a componente tangencial da aceleração a_T. Fórmulas úteis (explicação): a componente tangencial é a taxa de variação da rapidez; uma forma prática é
a_T=\frac{\mathbf{v}\cdot\mathbf{a}}{|\mathbf{v}|}.
Calcule o produto escalar \mathbf{v}\cdot\mathbf{a}:
\mathbf{v}\cdot\mathbf{a}=(\cos t - t\sin t)(-2\sin t - t\cos t)+(\sin t + t\cos t)(2\cos t - t\sin t).
Ao expandir e simplificar (os termos se cancelam cuidadosamente), obtém-se
\mathbf{v}\cdot\mathbf{a}=t.
Portanto
a_T=\frac{t}{\sqrt{1+t^{2}}}.
(Comentário didático: alternativamente pode-se verificar que a_T=\dfrac{d}{dt}|\mathbf{v}(t)|=\dfrac{d}{dt}\sqrt{1+t^{2}}=\dfrac{t}{\sqrt{1+t^{2}}}.)

Passo 6

Calcular a componente normal a_N. Duas fórmulas equivalentes: a_N=\sqrt{|\mathbf{a}|^{2}-a_T^{2}} ou a_N=\dfrac{|\mathbf{v}\times\mathbf{a}|}{|\mathbf{v}|}. Aqui uso a primeira (é direta):
Primeiro calcule |\mathbf{a}(t)|^{2}:
|\mathbf{a}(t)|^{2}=(-2\sin t - t\cos t)^{2}+(2\cos t - t\sin t)^{2}.
Expandindo e simplificando:
|\mathbf{a}(t)|^{2}=4+t^{2}.
Agora
a_T^{2}=\frac{t^{2}}{1+t^{2}}.
Logo
a_N=\sqrt{|\mathbf{a}|^{2}-a_T^{2}}=\sqrt{4+t^{2}-\frac{t^{2}}{1+t^{2}}}.
Fazendo a álgebra (colocando em denominador comum) obtemos uma forma agradável:
a_N=\frac{t^{2}+2}{\sqrt{1+t^{2}}}.

Passo 7

Encontrar o versor normal unitário \mathbf{N}(t) e escrever a decomposição vetorial da aceleração. Definição prática:
\mathbf{N}(t)=\frac{\mathbf{a}(t)-a_T\mathbf{T}(t)}{a_N}.
É mais simples notar que a_T\mathbf{T}=\dfrac{t}{1+t^{2}}\mathbf{v}(t) (porque a_T=\dfrac{t}{\sqrt{1+t^{2}}} e \mathbf{T}=\dfrac{\mathbf{v}}{\sqrt{1+t^{2}}}). Ao calcular \mathbf{a}-a_T\mathbf{T} e normalizar, obtém-se uma forma bem simplificada para \mathbf{N}:
\mathbf{N}(t)=\frac{1}{\sqrt{1+t^{2}}}\bigl\langle -\bigl(t\cos t+\sin t\bigr),\;\cos t - t\sin t,\;0\bigr\rangle.
Verifique que \mathbf{T}\cdot\mathbf{N}=0 e que |\mathbf{N}|=1.
A decomposição completa da aceleração fica então
\mathbf{a}(t)=a_T\mathbf{T}(t)+a_N\mathbf{N}(t).

Resposta

\displaystyle \mathbf{T}(t)=\frac{1}{\sqrt{1+t^{2}}}\bigl\langle \cos t - t\sin t,\;\sin t + t\cos t,\;0\bigr\rangle
\displaystyle \mathbf{N}(t)=\frac{1}{\sqrt{1+t^{2}}}\bigl\langle -\bigl(t\cos t+\sin t\bigr),\;\cos t - t\sin t,\;0\bigr\rangle
\displaystyle a_{T}(t)=\frac{t}{\sqrt{1+t^{2}}}
\displaystyle a_{N}(t)=\frac{t^{2}+2}{\sqrt{1+t^{2}}}

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