Encontrar as compoentes
e
da aceleração, nos problemas:
(espiral).
Passo 1
O enunciado dá a trajetória paramétrica da partícula (espiral no plano) e pede as componentes tangencial e normal da aceleração. Dados fornecidos:
- A posição é
.
O que se pede: - Encontrar a componente tangencial
e a componente normal da aceleração e, se for útil, apresentar os vetores unitários e e a decomposição .
Passo 2
Definições e primeiras derivadas (vai ser a base):
- Velocidade:
. - Aceleração:
.
Derivando componente a componente (regra do produto e derivada das funções trigonométricas):
Passo 3
Calcular a rapidez (módulo da velocidade)
. Isso é importante porque
.
Expandindo e somando (faça passo a passo: os termos mistos se cancelam):
Logo
Passo 4
Encontrar o versor tangente unitário
:
Passo 5
Calcular a componente tangencial da aceleração
. Fórmulas úteis (explicação): a componente tangencial é a taxa de variação da rapidez; uma forma prática é
Calcule o produto escalar
:
Ao expandir e simplificar (os termos se cancelam cuidadosamente), obtém-se
Portanto
(Comentário didático: alternativamente pode-se verificar que
.)
Passo 6
Calcular a componente normal
. Duas fórmulas equivalentes:
ou
. Aqui uso a primeira (é direta):
Primeiro calcule :
Primeiro calcule
Expandindo e simplificando:
Agora
Logo
Fazendo a álgebra (colocando em denominador comum) obtemos uma forma agradável:
Passo 7
Encontrar o versor normal unitário
e escrever a decomposição vetorial da aceleração. Definição prática:
É mais simples notar que
(porque
e
). Ao calcular
e normalizar, obtém-se uma forma bem simplificada para
:
Verifique que
e que
.
A decomposição completa da aceleração fica então
A decomposição completa da aceleração fica então