Encontrar as compoentes
e
da aceleração, nos problemas:
(circulo).
Passo 1
O enunciado dá as coordenadas temporais da partícula na forma:
O que o exercício pede: encontrar as componentes tangencial e normal da aceleração, ou seja, determinar
- o vetor unitário tangente
, - o vetor unitário normal
, - as componentes escalares
e (onde a aceleração total se escreve ).
Informações relevantes fornecidas:
- As coordenadas mostram um movimento circular de raio
no plano . - A constante
aparece nas funções trigonométricas (velocidade angular).
Passo 2
Escrever o vetor posição e calcular a velocidade por derivação componente a componente.
O vetor posição é
Derivando em relação a
(regra da cadeia:
,
):
Calcular a rapidez (magnitude da velocidade). Como
,
Passo 3
Construir o vetor unitário tangente
dividindo a velocidade pela sua magnitude:
Verificação rápida:
, é unitário.
Passo 4
Calcular a aceleração derivando a velocidade:
Observação: isso pode ser escrito como
, mostrando que a aceleração aponta radialmente para o centro.
Passo 5
Determinar o vetor unitário normal
. Definição prática:
.
Calcular
. Derivando componente a componente (lembrar fator
):
A norma é
Logo
Note que
é unitário e aponta para o centro do círculo (é o negativo do vetor radial
).
Passo 6
Calcular as componentes escalares
e
.
Fórmula para a componente tangencial:
porque a rapidez é constante no movimento circular uniforme.
Fórmula para a componente normal (magnitude):
uma forma simples é projetar sobre
:
uma forma simples é projetar
Usando
e
,
Outra forma conhecida (checar) é
, mesmo resultado.
Passo 7
Escrever a aceleração na decomposição tangencial-normal:
Isso coincide com a expressão direta encontrada em Passo 4.