Encontrar as compoentes \mathbf{T} e \mathbf{N} da aceleração, nos problemas:
x=5 \cos w t, y=5 \sin w t, z=0 (circulo).

Passo 1

O enunciado dá as coordenadas temporais da partícula na forma:
x(t)=5\cos(\omega t),\qquad y(t)=5\sin(\omega t),\qquad z(t)=0.
O que o exercício pede: encontrar as componentes tangencial e normal da aceleração, ou seja, determinar
  • o vetor unitário tangente \mathbf{T}(t),
  • o vetor unitário normal \mathbf{N}(t),
  • as componentes escalares \,a_T e a_N (onde a aceleração total se escreve \mathbf{a}=a_T\mathbf{T}+a_N\mathbf{N}).
Informações relevantes fornecidas:
  • As coordenadas mostram um movimento circular de raio 5 no plano xy.
  • A constante \omega aparece nas funções trigonométricas (velocidade angular).

Passo 2

Escrever o vetor posição e calcular a velocidade por derivação componente a componente.
O vetor posição é
\mathbf{r}(t)=5\cos(\omega t)\,\mathbf{i}+5\sin(\omega t)\,\mathbf{j}+0\,\mathbf{k}.
Derivando em relação a t (regra da cadeia: \dfrac{d}{dt}\cos(\omega t)=-\omega\sin(\omega t), \dfrac{d}{dt}\sin(\omega t)=\omega\cos(\omega t)):
\mathbf{v}(t)=\mathbf{r}'(t)=-5\omega\sin(\omega t)\,\mathbf{i}+5\omega\cos(\omega t)\,\mathbf{j}+0\,\mathbf{k}.
Calcular a rapidez (magnitude da velocidade). Como \sin^2+\cos^2=1,
\|\mathbf{v}(t)\|=\sqrt{(-5\omega\sin(\omega t))^2+(5\omega\cos(\omega t))^2} =\sqrt{25\omega^2(\sin^2+\cos^2)}=5\omega.

Passo 3

Construir o vetor unitário tangente \mathbf{T}(t) dividindo a velocidade pela sua magnitude:
\mathbf{T}(t)=\frac{\mathbf{v}(t)}{\|\mathbf{v}(t)\|} =\frac{-5\omega\sin(\omega t)\,\mathbf{i}+5\omega\cos(\omega t)\,\mathbf{j}}{5\omega} =-\sin(\omega t)\,\mathbf{i}+\cos(\omega t)\,\mathbf{j}.
Verificação rápida: \|\mathbf{T}(t)\|=\sqrt{\sin^2+\cos^2}=1, é unitário.

Passo 4

Calcular a aceleração derivando a velocidade:
\mathbf{a}(t)=\mathbf{v}'(t) = -5\omega^2\cos(\omega t)\,\mathbf{i}-5\omega^2\sin(\omega t)\,\mathbf{j}+0\,\mathbf{k}.
Observação: isso pode ser escrito como \mathbf{a}(t)=-\omega^2\mathbf{r}(t), mostrando que a aceleração aponta radialmente para o centro.

Passo 5

Determinar o vetor unitário normal \mathbf{N}(t). Definição prática: \mathbf{N}=\dfrac{\mathbf{T}'}{\|\mathbf{T}'\|}.
Calcular \mathbf{T}'(t). Derivando componente a componente (lembrar fator \omega):
\mathbf{T}'(t) = -\omega\cos(\omega t)\,\mathbf{i}-\omega\sin(\omega t)\,\mathbf{j}+0\,\mathbf{k}.
A norma é
\|\mathbf{T}'(t)\|=\sqrt{(-\omega\cos)^2+(-\omega\sin)^2}=\omega\sqrt{\cos^2+\sin^2}=\omega.
Logo
\mathbf{N}(t)=\frac{\mathbf{T}'(t)}{\|\mathbf{T}'(t)\|} =-\cos(\omega t)\,\mathbf{i}-\sin(\omega t)\,\mathbf{j}.
Note que \mathbf{N}(t) é unitário e aponta para o centro do círculo (é o negativo do vetor radial (\cos,\sin)).

Passo 6

Calcular as componentes escalares a_T e a_N.
Fórmula para a componente tangencial:
a_T=\frac{d}{dt}\|\mathbf{v}\|=\frac{d}{dt}(5\omega)=0,
porque a rapidez é constante no movimento circular uniforme.
Fórmula para a componente normal (magnitude):
uma forma simples é projetar \mathbf{a} sobre \mathbf{N}:
a_N=\mathbf{a}\cdot\mathbf{N}.
Usando \mathbf{a}=-5\omega^2\cos(\omega t)\,\mathbf{i}-5\omega^2\sin(\omega t)\,\mathbf{j} e \mathbf{N}=-\cos(\omega t)\,\mathbf{i}-\sin(\omega t)\,\mathbf{j},
a_N = (-5\omega^2\cos)(-\cos)+(-5\omega^2\sin)(-\sin) =5\omega^2(\cos^2+\sin^2)=5\omega^2.
Outra forma conhecida (checar) é a_N=\dfrac{\|\mathbf{v}\|^2}{R}=\dfrac{(5\omega)^2}{5}=5\omega^2, mesmo resultado.

Passo 7

Escrever a aceleração na decomposição tangencial-normal:
\mathbf{a}=a_T\mathbf{T}+a_N\mathbf{N}=0\cdot\mathbf{T}+5\omega^2\mathbf{N}=5\omega^2\mathbf{N}.
Isso coincide com a expressão direta encontrada em Passo 4.

Resposta

\displaystyle \mathbf{T}(t)=-\sin(\omega t)\,\mathbf{i}+\cos(\omega t)\,\mathbf{j}
\displaystyle \mathbf{N}(t)=-\cos(\omega t)\,\mathbf{i}-\sin(\omega t)\,\mathbf{j}
\displaystyle a_T=0
\displaystyle a_N=5\omega^2
\displaystyle \mathbf{a}(t)=5\omega^2\,\mathbf{N}(t)

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