Encontrar o comprimento de arco da curva dada:
y=1+6 x^{3 / 2}, 0 \leq x \leq 1

Passo 1

O enunciado pede o comprimento de arco da curva dada por \,y=1+6x^{3/2}\, no intervalo \,0\le x\le1.\n
Informações dadas:
\,y=1+6x^{3/2}\, e o intervalo de integração é \,[0,1].
A tarefa: calcular o comprimento da curva entre \,x=0\, e \,x=1.

Passo 2

A fórmula que usamos para comprimento de arco de uma função y=f(x) continuamente diferenciável em [a,b] é
L=\int_{a}^{b}\sqrt{1+\bigl(f'(x)\bigr)^{2}}\;dx.
Aqui L é o comprimento da curva, f'(x) é a derivada de f em relação a x, e a expressão sob a raiz combina o incremento horizontal com o vertical infinitesimal quando percorremos a curva. Vamos aplicar essa fórmula com f(x)=1+6x^{3/2}, a=0, b=1.

Passo 3

Vamos calcular a derivada \,f'(x).\n
Usamos a regra do poder: se \,g(x)=x^{n}, então \,g'(x)=n x^{n-1}.\n
Aplicando a regra:
\,f(x)=1+6x^{3/2} tem derivada da constante 1 igual a 0 e, para 6x^{3/2},
\frac{d}{dx}\bigl(6x^{3/2}\bigr)=6\cdot\frac{3}{2}x^{1/2}=9x^{1/2}.
Portanto
\,f'(x)=9x^{1/2}, e como \,x^{1/2}=\sqrt{x} podemos também escrever \,f'(x)=9\sqrt{x}.

Passo 4

Substituímos na fórmula do comprimento de arco:
L=\int_{0}^{1}\sqrt{1+\bigl(9\sqrt{x}\bigr)^{2}}\;dx.
Simplificando o integrando:
\,\bigl(9\sqrt{x}\bigr)^{2}=81x, então
L=\int_{0}^{1}\sqrt{1+81x}\;dx.

Passo 5

Para calcular a integral fazemos a substituição linear usual. Defina
\,u=1+81x\,. Então \,du=81\,dx, ou seja \,dx=\dfrac{du}{81}.\n
Mudança de limites: quando x=0 temos u=1; quando x=1 temos u=82.\n
Substituindo na integral:
L=\int_{u=1}^{u=82}\sqrt{u}\cdot\frac{du}{81}=\frac{1}{81}\int_{1}^{82}u^{1/2}\;du.

Passo 6

Integramos u^{1/2}. A primitiva é \dfrac{2}{3}u^{3/2}. Então
L=\frac{1}{81}\cdot\left[\frac{2}{3}u^{3/2}\right]_{1}^{82}=\frac{2}{243}\bigl(82^{3/2}-1^{3/2}\bigr).
Podemos reescrever 82^{3/2} como 82\sqrt{82}. Assim uma forma equivalente é
L=\frac{2}{243}\bigl(82\sqrt{82}-1\bigr)=\frac{164}{243}\sqrt{82}-\frac{2}{243}.

Resposta

L=\frac{2}{243}\bigl(82^{3/2}-1\bigr)=\frac{164}{243}\sqrt{82}-\frac{2}{243}.

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