Encontrar o comprimento de arco da curva dada:
Passo 1
O enunciado pede o comprimento de arco da curva dada por
no intervalo
.\n
Informações dadas:
e o intervalo de integração é
.
A tarefa: calcular o comprimento da curva entre e
.
Informações dadas:
A tarefa: calcular o comprimento da curva entre
Passo 2
A fórmula que usamos para comprimento de arco de uma função
continuamente diferenciável em
é
Aqui
é o comprimento da curva,
é a derivada de
em relação a
, e a expressão sob a raiz combina o incremento horizontal com o vertical infinitesimal quando percorremos a curva. Vamos aplicar essa fórmula com
,
,
.
Passo 3
Vamos calcular a derivada
.\n
Usamos a regra do poder: se , então
.\n
Aplicando a regra:
tem derivada da constante
igual a
e, para
,
Usamos a regra do poder: se
Aplicando a regra:
Portanto
, e como
podemos também escrever
.
Passo 4
Substituímos na fórmula do comprimento de arco:
Simplificando o integrando:
, então
Passo 5
Para calcular a integral fazemos a substituição linear usual. Defina
. Então
, ou seja
.\n
Mudança de limites: quando temos
; quando
temos
.\n
Substituindo na integral:
Mudança de limites: quando
Substituindo na integral:
Passo 6
Integramos
. A primitiva é
. Então
Podemos reescrever
como
. Assim uma forma equivalente é