Encontre as seguintes integrais usando a técnica de integração por partes
\int \operatorname{arctg} x d x

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral indefinida
\int \operatorname{arctg} x\,dx.
Informações dadas:
  • A função a ser integrada é \operatorname{arctg} x (arco-tangente de x).
  • É uma integral indefinida, então a resposta deve conter a constante de integração C.
    Não resolvo nada neste passo; só deixei claro o que é pedido e os dados disponíveis.

Passo 2

Vamos usar a fórmula de integração por partes. Primeiro, explico a fórmula e o porquê dela funcionar de forma simples e prática.
A fórmula de integração por partes é
\int u\,dv = u v - \int v\,du.
O que isso significa:
  • Escolhemos duas funções u(x) e v'(x) tal que dv = v'(x)\,dx.
  • Calculamos du = u'(x)\,dx e v = \int v'(x)\,dx.
  • Substituímos na fórmula acima para transformar a integral original em outra, geralmente mais simples.
Motivação prática para a escolha de u e dv:
  • Queremos pegar u como uma função que simplifique ao derivar (por exemplo, que gere algo simples).
  • E dv como uma parte que seja fácil de integrar.
No nosso caso, temos apenas \operatorname{arctg} x. Uma escolha natural e eficiente é:
u = \operatorname{arctg} x,\qquad dv = dx.
Porque a derivada de \operatorname{arctg} x é simples:
\frac{d}{dx}\operatorname{arctg} x = \frac{1}{1+x^{2}}.

Passo 3

Calculo du e v a partir da escolha:
du = \frac{1}{1+x^{2}}\,dx, \qquad v = \int dv = \int dx = x.
Agora aplico a fórmula de integração por partes:
\int \operatorname{arctg} x\,dx = u v - \int v\,du.
Substituindo u, v e du:
\int \operatorname{arctg} x\,dx = x\operatorname{arctg} x - \int x\cdot\frac{1}{1+x^{2}}\,dx.

Passo 4

Vamos calcular a integral restante
\int \frac{x}{1+x^{2}}\,dx.
Explico um método padrão: observe que a derivada do denominador 1+x^{2} é 2x. Isso sugere a substituição
t = 1+x^{2}\quad\Rightarrow\quad dt = 2x\,dx \quad\Rightarrow\quad x\,dx = \frac{1}{2}\,dt.
Substituindo:
\int \frac{x}{1+x^{2}}\,dx = \int \frac{1}{t}\cdot\frac{1}{2}\,dt = \frac{1}{2}\int \frac{1}{t}\,dt = \frac{1}{2}\ln|t| + C.
Voltando para x:
\int \frac{x}{1+x^{2}}\,dx = \frac{1}{2}\ln(1+x^{2}) + C,
onde não precisamos do valor absoluto porque 1+x^{2}>0 para todo x.

Passo 5

Substituo esse resultado de volta na expressão obtida no Passo 3:
\int \operatorname{arctg} x\,dx = x\operatorname{arctg} x - \frac{1}{2}\ln(1+x^{2}) + C.

Passo 6

(Salve a insegurança: checagem rápida da derivada para confirmar.)
Derivando a função candidata F(x)=x\operatorname{arctg} x - \tfrac{1}{2}\ln(1+x^{2}):
F'(x) = \operatorname{arctg} x + x\cdot\frac{1}{1+x^{2}} - \frac{1}{2}\cdot\frac{2x}{1+x^{2}} = \operatorname{arctg} x + \frac{x}{1+x^{2}} - \frac{x}{1+x^{2}} = \operatorname{arctg} x.
Bingo: a derivada é exatamente o integrando, então a primitiva está correta.

Resposta

x\operatorname{arctg} x - \frac{1}{2}\ln(1+x^{2}) + C

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