Encontre as seguintes integrais usando a técnica de integração por partes
Passo 1
O enunciado pede calcular a integral indefinida
Informações dadas:
- A função a ser integrada é
(arco-tangente de ). - É uma integral indefinida, então a resposta deve conter a constante de integração
.
Não resolvo nada neste passo; só deixei claro o que é pedido e os dados disponíveis.
Passo 2
Vamos usar a fórmula de integração por partes. Primeiro, explico a fórmula e o porquê dela funcionar de forma simples e prática.
A fórmula de integração por partes é
O que isso significa:
- Escolhemos duas funções
e tal que . - Calculamos
e . - Substituímos na fórmula acima para transformar a integral original em outra, geralmente mais simples.
Motivação prática para a escolha de
e
:
- Queremos pegar
como uma função que simplifique ao derivar (por exemplo, que gere algo simples). - E
como uma parte que seja fácil de integrar.
No nosso caso, temos apenas
. Uma escolha natural e eficiente é:
Porque a derivada de
é simples:
Passo 3
Calculo
e
a partir da escolha:
Agora aplico a fórmula de integração por partes:
Substituindo
,
e
:
Passo 4
Vamos calcular a integral restante
Explico um método padrão: observe que a derivada do denominador
é
. Isso sugere a substituição
Substituindo:
Voltando para
:
onde não precisamos do valor absoluto porque
para todo
.
Passo 5
Substituo esse resultado de volta na expressão obtida no Passo 3:
Passo 6
(Salve a insegurança: checagem rápida da derivada para confirmar.)
Derivando a função candidata :
Derivando a função candidata
Bingo: a derivada é exatamente o integrando, então a primitiva está correta.