Calcular as integrais impróprias, caso sejam convergentes.
\int_{0}^{+\infty}\left(\frac{d x}{1+x^{2}}\right)

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral imprópria
\int_{0}^{+\infty}\frac{dx}{1+x^{2}}
que envolve limite no infinito e usa a antiderivada de \frac{1}{1+x^{2}}, que é \arctan(x).

Passo 2

Expressamos a integral imprópria como limite de integrais propriamente ditas:
\int_{0}^{+\infty}\frac{dx}{1+x^{2}} = \lim_{R\to +\infty}\int_{0}^{R}\frac{dx}{1+x^{2}}.

Passo 3

Sabemos que
\int \frac{dx}{1+x^{2}} = \arctan(x) + C.
Portanto,
\int_{0}^{R}\frac{dx}{1+x^{2}} = \arctan(R) - \arctan(0) = \arctan(R).

Passo 4

Agora fazemos o limite quando R\to+\infty:
\lim_{R\to +\infty}\arctan(R) = \frac{\pi}{2}.
Isso mostra que a integral converge e seu valor é \frac{\pi}{2}.

Resposta

\displaystyle \frac{\pi}{2}

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