Encontrar a derivada das funções dadas.
Determine
f(x)=\frac{2 x}{x-3}

Passo 1

O enunciado dá a função \displaystyle f(x)=\frac{2x}{x-3} e pede para determinar a sua derivada \displaystyle f'(x).
Informações relevantes fornecidas:
  • A função está escrita como uma razão (fração) entre duas expressões em x.
  • A função não está definida em \displaystyle x=3 (pois o denominador fica zero).

Passo 2

Qual método usar? Aqui a função é uma fração \displaystyle \frac{u(x)}{v(x)}, então o método direto e mais simples é a regra do quociente. Vou apresentar a regra e explicar cada símbolo:
Regra do quociente: se \displaystyle f(x)=\frac{u(x)}{v(x)} com v(x)\neq0, então
f'(x)=\frac{u'(x)\,v(x)-u(x)\,v'(x)}{[v(x)]^{2}}.
Explicando as letras:
  • \displaystyle u(x) é a função que está no numerador.
  • \displaystyle v(x) é a função que está no denominador.
  • \displaystyle u'(x) e \displaystyle v'(x) são as derivadas de \displaystyle u e \displaystyle v, respectivamente.
    A regra diz: deriva-se o numerador e multiplica-se pelo denominador, menos o numerador vezes a derivada do denominador; divide-se tudo pelo quadrado do denominador.

Passo 3

Identificar u e v no problema:
u(x)=2x,\qquad v(x)=x-3.
Calcular as derivadas de u e v:
u'(x)=2,\qquad v'(x)=1,
pois a derivada de \displaystyle 2x é \displaystyle 2 e a derivada de \displaystyle x-3 é \displaystyle 1.

Passo 4

Aplicar a regra do quociente substituindo os valores:
f'(x)=\frac{u'(x)\,v(x)-u(x)\,v'(x)}{[v(x)]^{2}} =\frac{2\,(x-3)-(2x)\cdot 1}{(x-3)^{2}}.
Agora simplificar o numerador:
2\,(x-3)-(2x)=2x-6-2x=-6.

Passo 5

Portanto a derivada simplificada é
f'(x)=-\frac{6}{(x-3)^{2}}.
Observação importante: esta expressão só faz sentido para \displaystyle x\neq3, que é também o domínio da função original.

Resposta

\displaystyle f'(x)=-\frac{6}{(x-3)^{2}}

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