Encontrar a derivada das funções dadas.
Determine
Determine
Passo 1
O enunciado pede para encontrar a derivada da função
Informações dadas:
- A função está definida por
. - A tarefa é calcular
, a derivada em relação a .
Passo 2
Qual a ideia para resolver (uma explicação curta e amigável antes de começar a conta)?
Vou usar a regra da cadeia, que serve quando uma função é composta por outra. A regra da cadeia diz que, se , então
Vou usar a regra da cadeia, que serve quando uma função é composta por outra. A regra da cadeia diz que, se
Aqui há pelo menos duas “camadas” de composição: a raiz quadrada por cima e a função
por baixo. Vou identificar claramente cada camada e derivar de dentro para fora.
Passo 3
Identificar as funções internas e externas:
- Função externa (mais externa):
. Para essa função vale
Explicação: a regra para potências diz que
. Aqui
.
- Função interna imediata:
. Para derivá-la uso que a derivada de soma é soma das derivadas e que pode ser vista como uma composição com : - Seja
. Então . - Agora
(regra da potência + cadeia). - Substituindo
obtemos
- Seja
Portanto
Passo 4
Aplicar a regra da cadeia para combinar as derivadas das camadas:
Agora simplifico: o fator
cancela,
Escrevendo com raiz no denominador fica mais claro:
Passo 5
Forma alternativa (útil para memorizar ou comparar): usando
pode-se escrever
logo uma forma equivalente é
Isso é só uma reescrita — ambas as expressões são idênticas.
Passo 6
Pequeno exemplo de checagem (serve pra ganhar confiança na prova): em
tem
e
, então pela fórmula
o que faz sentido: a derivada em
é
.