Encontrar a derivada das funções dadas.
Determine
f(x)=\sqrt{1+\cos ^{2} x}

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a derivada da função
f(x)=\sqrt{1+\cos^{2}x}.
Informações dadas:
  • A função está definida por f(x)=(1+\cos^{2}x)^{1/2}.
  • A tarefa é calcular f'(x), a derivada em relação a x.

Passo 2

Qual a ideia para resolver (uma explicação curta e amigável antes de começar a conta)?
Vou usar a regra da cadeia, que serve quando uma função é composta por outra. A regra da cadeia diz que, se f(x)=h(g(x)), então
f'(x)=h'(g(x))\cdot g'(x).
Aqui há pelo menos duas “camadas” de composição: a raiz quadrada por cima e a função 1+\cos^{2}x por baixo. Vou identificar claramente cada camada e derivar de dentro para fora.

Passo 3

Identificar as funções internas e externas:
  • Função externa (mais externa): h(u)=\sqrt{u}=u^{1/2}. Para essa função vale
h'(u)=\frac{1}{2}u^{-1/2}=\frac{1}{2\sqrt{u}}.
Explicação: a regra para potências diz que \dfrac{d}{du}u^{n}=n u^{n-1}. Aqui n=\tfrac{1}{2}.
  • Função interna imediata: g(x)=1+\cos^{2}x. Para derivá-la uso que a derivada de soma é soma das derivadas e que \dfrac{d}{dx}\cos^{2}x pode ser vista como uma composição u^2 com u=\cos x:
    • Seja u(x)=\cos x. Então \dfrac{d}{dx}u(x)=\dfrac{d}{dx}\cos x=-\sin x.
    • Agora \dfrac{d}{dx}u(x)^2=2u(x)\cdot u'(x) (regra da potência + cadeia).
    • Substituindo u(x)=\cos x obtemos
    \dfrac{d}{dx}\cos^{2}x=2\cos x\cdot(-\sin x)=-2\cos x\sin x.
Portanto
g'(x)=0+(-2\cos x\sin x)=-2\cos x\sin x.

Passo 4

Aplicar a regra da cadeia para combinar as derivadas das camadas:
f'(x)=h'(g(x))\cdot g'(x) =\frac{1}{2}\big(1+\cos^{2}x\big)^{-1/2}\cdot\big(-2\cos x\sin x\big).
Agora simplifico: o fator 2 cancela,
f'(x)=-\big(1+\cos^{2}x\big)^{-1/2}\cdot\cos x\sin x.
Escrevendo com raiz no denominador fica mais claro:
f'(x)=-\frac{\cos x\sin x}{\sqrt{1+\cos^{2}x}}.

Passo 5

Forma alternativa (útil para memorizar ou comparar): usando \sin 2x=2\sin x\cos x pode-se escrever
\cos x\sin x=\frac{1}{2}\sin 2x,
logo uma forma equivalente é
f'(x)=-\frac{1}{2}\,\frac{\sin 2x}{\sqrt{1+\cos^{2}x}}.
Isso é só uma reescrita — ambas as expressões são idênticas.

Passo 6

Pequeno exemplo de checagem (serve pra ganhar confiança na prova): em x=0 tem \cos 0=1 e \sin 0=0, então pela fórmula
f'(0)=-\frac{\cos 0\sin 0}{\sqrt{1+\cos^{2}0}}=-\frac{1\cdot 0}{\sqrt{1+1}}=0,
o que faz sentido: a derivada em 0 é 0.

Resposta

f'(x)=-\frac{\cos x\sin x}{\sqrt{1+\cos^{2}x}}.

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