Encontrar a derivada das funções dadas.
Determine
f(x)=x^{4}-3 x^{3}+2 x-1

Passo 1

O enunciado pede a derivada da função
f(x)=x^{4}-3 x^{3}+2 x-1.
Informações dadas: a função é um polinômio com quatro termos: \,x^{4}, -3x^{3}, 2x e -1. O objetivo é encontrar f'(x), a derivada de f em função de x.

Passo 2

Definição (intuição e fórmula): a derivada de uma função num ponto mede a inclinação da reta tangente naquele ponto — ou seja, a taxa de variação instantânea. A definição limite é
f'(x)=\lim_{h\to0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}.
Aqui x é o ponto em que derivamos e h é um pequeno incremento. Na prática, para polinômios usamos regras que tornam o cálculo muito mais rápido do que aplicar diretamente esse limite todas as vezes.

Passo 3

Regras que vamos usar (explicadas de forma simples):
  • Regra da soma: a derivada da soma é a soma das derivadas. Ou seja, se g(x)=u(x)+v(x) então g'(x)=u'(x)+v'(x).
  • Regra do fator constante: se g(x)=c\cdot u(x) com constante c, então g'(x)=c\cdot u'(x).
  • Regra da potência (caso mais usado para polinômios): para inteiro n\ge1,
\frac{d}{dx}x^{n}=n x^{n-1}.
Explicação curta do porquê da regra da potência (caso n inteiro positivo): usando a fórmula do binômio,
(x+h)^{n}-x^{n}=n x^{n-1}h+\binom{n}{2}x^{n-2}h^{2}+\cdots+h^{n}.
Dividindo por h e fazendo h\to0, todos os termos com h sobrando vão para zero, sobrando n x^{n-1}. Portanto o limite é n x^{n-1}. Nas regras acima, todas as variáveis ( x,h,n,c) estão como definidas: x é a variável independente, h o incremento, n o expoente inteiro e c constante real.

Passo 4

Aplicando as regras termo a termo ao polinômio dado.
  1. Derivada de \,x^{4}. Pela regra da potência com n=4,
\frac{d}{dx}x^{4}=4x^{3}.
  1. Derivada de -3x^{3}. Usando a regra do fator constante ( -3) e a regra da potência com n=3,
\frac{d}{dx}(-3x^{3}) = -3\cdot\frac{d}{dx}x^{3} = -3\cdot(3x^{2}) = -9x^{2}.
  1. Derivada de 2x. Aqui 2x é 2\cdot x^{1}. Pela regra da potência com n=1,
\frac{d}{dx}(2x) = 2\cdot\frac{d}{dx}x = 2\cdot 1 = 2.
  1. Derivada de -1. Constante: a derivada de qualquer constante é 0,
\frac{d}{dx}(-1)=0.

Passo 5

Somando as derivadas dos termos (pela regra da soma) obtemos a derivada do polinômio como a soma dos resultados parciais:
f'(x)=4x^{3}-9x^{2}+2.

Resposta

f'(x)=4x^{3}-9x^{2}+2

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