Encontrar a derivada das funções dadas.
Determine
Determine
Passo 1
O enunciado pede a derivada da função
Informações dadas: a função é um polinômio com quatro termos:
,
,
e
. O objetivo é encontrar
, a derivada de
em função de
.
Passo 2
Definição (intuição e fórmula): a derivada de uma função num ponto mede a inclinação da reta tangente naquele ponto — ou seja, a taxa de variação instantânea. A definição limite é
Aqui
é o ponto em que derivamos e
é um pequeno incremento. Na prática, para polinômios usamos regras que tornam o cálculo muito mais rápido do que aplicar diretamente esse limite todas as vezes.
Passo 3
Regras que vamos usar (explicadas de forma simples):
- Regra da soma: a derivada da soma é a soma das derivadas. Ou seja, se
então . - Regra do fator constante: se
com constante , então . - Regra da potência (caso mais usado para polinômios): para inteiro
,
Explicação curta do porquê da regra da potência (caso
inteiro positivo): usando a fórmula do binômio,
Dividindo por
e fazendo
, todos os termos com
sobrando vão para zero, sobrando
. Portanto o limite é
. Nas regras acima, todas as variáveis (
) estão como definidas:
é a variável independente,
o incremento,
o expoente inteiro e
constante real.
Passo 4
Aplicando as regras termo a termo ao polinômio dado.
- Derivada de
. Pela regra da potência com ,
- Derivada de
. Usando a regra do fator constante ( ) e a regra da potência com ,
- Derivada de
. Aqui é . Pela regra da potência com ,
- Derivada de
. Constante: a derivada de qualquer constante é ,
Passo 5
Somando as derivadas dos termos (pela regra da soma) obtemos a derivada do polinômio como a soma dos resultados parciais: