Encontrar a distância de vec{u} a vec{v} e o cosseno do ângulo entre vec{u} a vec{v} nos seguintes casos:
A=\left(\begin{array}{ll}1 & 1 \\\\ 0 & 0\end{array}\right) e B=\left(\begin{array}{ll}0 & 1 \\\\ 1 & 0\end{array}\right) em relação ao produto interno \langle A, B\rangle=\operatorname{tr}\left(B^{T} A\right).

Passo 1

O enunciado pede a distância e o cosseno do ângulo entre as matrizes
A = \begin{pmatrix}1 & 1\\\ 0 & 0\end{pmatrix} \quad\text{e}\quad B = \begin{pmatrix}0 & 1\\\ 1 & 0\end{pmatrix}
usando o produto interno
\langle X,Y\rangle = \operatorname{tr}(Y^T X).
Para isso vamos precisar das fórmulas
\|X\| = \sqrt{\langle X,X\rangle}, \quad \mathrm{dist}(A,B) = \|A - B\|, \quad \cos\theta = \frac{\langle A,B\rangle}{\|A\|\;\|B\|}.

Passo 2

Calcular o produto interno \langle A,B\rangle. Primeiro
B^T = \begin{pmatrix}0 & 1\\\ 1 & 0\end{pmatrix},
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B^T A = \begin{pmatrix}0 & 1\\\ 1 & 0\end{pmatrix} \begin{pmatrix}1 & 1\\\ 0 & 0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0 & 0\\\ 1 & 1\end{pmatrix}
e
\langle A,B\rangle = \operatorname{tr}(B^T A) = 0 + 1 = 1.

Passo 3

Calcular as normas de A e B.
Para A:
A^T A = \begin{pmatrix}1 & 0\\\ 1 & 0\end{pmatrix} \begin{pmatrix}1 & 1\\\ 0 & 0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1 & 1\\\ 1 & 1\end{pmatrix}, \quad \|A\| = \sqrt{\operatorname{tr}(A^T A)} = \sqrt{1+1} = \sqrt{2}.
Para B:
B^T B = B B = \begin{pmatrix}1 & 0\\\ 0 & 1\end{pmatrix}, \quad \|B\| = \sqrt{\operatorname{tr}(B^T B)} = \sqrt{1+1} = \sqrt{2}.

Passo 4

Calcular a distância \mathrm{dist}(A,B)=\|A-B\|. Temos
A - B = \begin{pmatrix}1 & 1\\\ 0 & 0\end{pmatrix} -\begin{pmatrix}0 & 1\\\ 1 & 0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1 & 0\\\ -1 & 0\end{pmatrix},
então
(A-B)^T(A-B) = \begin{pmatrix}1 & -1\\\ 0 & 0\end{pmatrix} \begin{pmatrix}1 & 0\\\ -1 & 0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}2 & 0\\\ 0 & 0\end{pmatrix},
\|A-B\| = \sqrt{\operatorname{tr}\bigl((A-B)^T(A-B)\bigr)} = \sqrt{2}.

Passo 5

Calcular o cosseno do ângulo:
\cos\theta = \frac{\langle A,B\rangle}{\|A\|\;\|B\|} = \frac{1}{\sqrt{2}\,\sqrt{2}} = \tfrac12.

Resposta

A distância entre A e B é \sqrt{2}
e o cosseno do ângulo entre eles é \tfrac12.

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