Consideremos no espaço vetorial mathbb{R}^{2} o produto interno dado por <\vec{u}, \vec{v}>=x_{1} x_{2}+2 y_{1} y_{2}. Verificar se \vec{u} e \vec{v} são ortogonais, em relação a esse produto interno, nos seguintes casos:
\vec{u}=(1,1) e \vec{v}=(2,-1);

Passo 1

O enunciado define em \mathbb{R}^2 o produto interno
\langle \vec u,\vec v\rangle = x_1x_2 + 2\,y_1y_2
e pede para verificar se \vec u=(1,1) e \vec v=(2,-1) são ortogonais, ou seja, se \langle \vec u,\vec v\rangle=0.

Passo 2

Identificando as componentes temos x_1=1, y_1=1, x_2=2, y_2=-1. Substituindo na definição:
\langle \vec u,\vec v\rangle = (1)\cdot(2) + 2\cdot(1)\cdot(-1) = 2 - 2 = 0.

Passo 3

Como o produto interno é zero, isto é \langle \vec u,\vec v\rangle=0, concluímos que \vec u e \vec v são ortogonais.

Resposta

Sim, \vec u e \vec v são ortogonais.

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