Determinar a norma de cada um dos seguintes vetores: A=\left(\begin{array}{ll}1 & 2 \\\\ 2 & 1\end{array}\right) em relação ao produto interno \langle A, B\rangle=\operatorname{tr}\left(B^{T} A\right). Passo 1O enunciado nos dá o vetor (matriz) A = \begin{pmatrix}1 & 2 \\\\ 2 & 1\end{pmatrix} e define o produto interno em matrizes por \langle A,B\rangle = \operatorname{tr}\bigl(B^T A\bigr). Ele pede a norma de A associada a esse produto interno. Passo 2Em qualquer espaço com produto interno, a norma de um vetor A vem dada por \|A\| = \sqrt{\langle A,A\rangle}. Aqui, \langle A,A\rangle = \operatorname{tr}\bigl(A^T A\bigr). Passo 3Vamos calcular A^T A. Como A é simétrica, A^T=A, então A^T A = A\,A = \begin{pmatrix}1 & 2 \\\\ 2 & 1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}1 & 2 \\\\ 2 & 1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1\cdot1 + 2\cdot2 & 1\cdot2 + 2\cdot1 \\[0.3em] 2\cdot1 + 1\cdot2 & 2\cdot2 + 1\cdot1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}5 & 4 \\\\ 4 & 5\end{pmatrix}.] Passo 4Agora computamos o traço de A^T A: \operatorname{tr}\bigl(A^T A\bigr) = 5 + 5 = 10. Logo \langle A,A\rangle = 10. Passo 5Finalmente, a norma de A é \|A\| = \sqrt{\langle A,A\rangle} = \sqrt{10}. Resposta \sqrt{10} MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETAExercícios relacionadosEncontrar a distância de vec{u} a vec{v} e o cosseno do ângulo entre vec{u} a vec{v} nos seguintes casos: A=\left(\begin{array}{ll}1 & 1 \\\\ 0 & 0\end{array}\right) e B=\left(\begin{array}{ll}0 & 1 \\\\ 1 & 0\end{array}\right) em relação ao produto interno \langle A, B\rangle=\operatorname{tr}\left(B^{T} A\right). Encontrar a distância de vec{u} a vec{v} e o cosseno do ângulo entre vec{u} a vec{v} nos seguintes casos: A=\left(\begin{array}{ll}1 & 1 \\\\ 0 & 0\end{array}\right) e B=\left(\begin{array}{ll}0 & 1 \\\\ 1 & 0\end{array}\right) em relação ao produto interno \langle A, B\rangle=\operatorname{tr}\left(B^{T} A\right). Consideremos no espaço vetorial mathbb{R}^{2} o produto interno dado por <\vec{u}, \vec{v}>=x_{1} x_{2}+2 y_{1} y_{2}. Verificar se \vec{u} e \vec{v} são ortogonais, em relação a esse produto interno, nos seguintes casos: \vec{u}=(1,1) e \vec{v}=(2,-1); Consideremos no espaço vetorial mathbb{R}^{2} o produto interno dado por <\vec{u}, \vec{v}>=x_{1} x_{2}+2 y_{1} y_{2}. Verificar se \vec{u} e \vec{v} são ortogonais, em relação a esse produto interno, nos seguintes casos: \vec{u}=(3,2) e \vec{v}=(2,-1).