Encontrar o envelope das famílias de curvas
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar o envelope da família de curvas definida por 
Passo 2
Primeiro, vamos identificar nossa família de curvas. Temos a equação:
Aqui, 
Passo 3
Vamos chamar a equação original de 
Para encontrar o envelope, precisamos encontrar uma segunda equação derivando 
Vamos calcular essa derivada.
Passo 4
Calculando a derivada parcial de 
Resolvendo cada termo:
Então, juntando tudo:
Podemos reescrever isso como:
Passo 5
Agora, temos um sistema de duas equações para resolver simultaneamente:
Nosso objetivo é eliminar o parâmetro 
Passo 6
Vamos fazer uma substituição para simplificar. Definimos:
Agora, reescrevemos as equações:
Vamos resolver a segunda equação para 
Passo 7
Substituímos 
Calculando o lado direito:
Multiplicando ambos os lados por 4 para eliminar o denominador:
Simplificando:
Dividindo ambos os lados por 
Resolvendo para 
Passo 8
Lembrando que 
Para eliminar 
Passo 9
Após realizar as substituições e simplificações necessárias, a equação do envelope resulta em:
Simplificando:
Resposta
O envelope das famílias de curvas 
