Encontrar as equações paramétricas da reta interseção dos Planos: e
Passo 1
Beleza, temos aqui um problema de geometria no espaço tridimensional. A gente precisa encontrar as equações paramétricas da reta que é a interseção de dois planos: o plano e o plano . Para resolver isso, vamos usar conceitos de planos e retas no espaço, além de sistemas de equações.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa a interseção de dois planos. Quando dois planos se cortam, eles formam uma reta. Nosso objetivo é encontrar as equações que descrevem essa reta. Para isso, precisamos encontrar um ponto que esteja em ambos os planos e um vetor direção que seja paralelo a essa reta.
Passo 3
Vamos começar encontrando um ponto que está na interseção dos dois planos. Sabemos que no plano , então podemos substituir por 5 na equação do plano :
Agora, precisamos encontrar valores para e que satisfaçam essa equação. Vamos escolher um valor para para facilitar. Por exemplo, se :
Então, um ponto na interseção é .
Passo 4
Agora, precisamos encontrar um vetor direção para a reta. Esse vetor deve ser paralelo aos dois planos, ou seja, perpendicular às normais dos planos. As normais dos planos e são, respectivamente, e .
Para encontrar um vetor paralelo à reta de interseção, podemos calcular o produto vetorial das normais:
Então, o vetor direção é .
Passo 5
Com o ponto x = 0 + 1 cdot t = t y = 4 - 2 cdot t z = 5 + 0 cdot t = 5 e o vetor direção , podemos escrever as equações paramétricas da reta de interseção:
onde é um parâmetro real.
Resposta
As equações paramétricas da reta de interseção são: