Encontrar as equações paramétricas da reta interseção dos Planos:
pi1: 2 x+y-4=0 e pi2: z=5

Passo 1

Beleza, temos aqui um problema de geometria no espaço tridimensional. A gente precisa encontrar as equações paramétricas da reta que é a interseção de dois planos: o plano e o plano . Para resolver isso, vamos usar conceitos de planos e retas no espaço, além de sistemas de equações.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa a interseção de dois planos. Quando dois planos se cortam, eles formam uma reta. Nosso objetivo é encontrar as equações que descrevem essa reta. Para isso, precisamos encontrar um ponto que esteja em ambos os planos e um vetor direção que seja paralelo a essa reta.

Passo 3

Vamos começar encontrando um ponto que está na interseção dos dois planos. Sabemos que 2x + y - 4 = 0 no plano 2(0) + y - 4 = 0 Rightarrow y = 4, então podemos substituir por 5 na equação do plano :
Agora, precisamos encontrar valores para e que satisfaçam essa equação. Vamos escolher um valor para para facilitar. Por exemplo, se :
Então, um ponto na interseção é .

Passo 4

Agora, precisamos encontrar um vetor direção para a reta. Esse vetor deve ser paralelo aos dois planos, ou seja, perpendicular às normais dos planos. As normais dos planos d = n1 times n2 = i & j & k 2 & 1 & 0 0 & 0 & 1 = (1 cdot 1 - 0 cdot 0)i - (2 cdot 1 - 0 cdot 0)j + (2 cdot 0 - 1 cdot 0)k = i - 2j + 0k e são, respectivamente, e .
Para encontrar um vetor paralelo à reta de interseção, podemos calcular o produto vetorial das normais:
Então, o vetor direção é .

Passo 5

Com o ponto x = 0 + 1 cdot t = t y = 4 - 2 cdot t z = 5 + 0 cdot t = 5 e o vetor direção , podemos escrever as equações paramétricas da reta de interseção:
onde é um parâmetro real.

Resposta

As equações paramétricas da reta de interseção são:
x = t y = 4 - 2t z = 5
onde .

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