Seja
um subconjunto de
. Pergunta-se:
O vetor
pertence ao subespaço gerado por
?
O vetor
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um conjunto de vetores
no espaço
. A pergunta é: o vetor
pertence ao subespaço gerado por
? Ou seja, será que dá pra escrever esse vetor como uma combinação linear dos vetores em
? Para resolver isso, vamos usar umas técnicas de álgebra linear, tipo montar um sistema de equações e resolver pra ver se tem solução.
Passo 2
Primeiro, vamos pensar em combinação linear. Queremos encontrar números
,
e
em
(números complexos) tal que:
Isso significa que cada componente do vetor resultante deve ser igual ao correspondente no vetor dado.
Passo 3
Vamos separar isso em três equações, uma para cada coordenada:
- Primeira coordenada:
- Segunda coordenada:
- Terceira coordenada:
Passo 4
Agora, temos um sistema de três equações com três incógnitas (
,
,
). Vamos resolver esse sistema passo a passo. Primeiro, vamos organizar as equações:
Passo 5
Vamos resolver esse sistema. Uma maneira eficiente é usar a substituição ou eliminação. Vamos começar pela segunda equação para isolar uma das variáveis. Por exemplo, na segunda equação:
Podemos isolar
:
Passo 6
Agora, substituímos essa expressão para
nas outras duas equações. Primeiro, na primeira equação:
Vamos simplificar:
Agrupando termos semelhantes:
Passo 7
Fazendo o mesmo na terceira equação:
Simplificando:
Sabendo que
:
Agrupando termos semelhantes:
Passo 8
Agora, temos duas equações simplificadas:
Essas equações ainda são complexas, mas podemos separar as partes reais e imaginárias para resolver. Vamos reescrevê-las:
Para a primeira equação:
Igualando as partes reais e imaginárias:
Para a segunda equação:
Igualando as partes reais e imaginárias:
Passo 9
Agora, temos um sistema de quatro equações reais:
Vamos resolver esse sistema. Primeiro, da equação 4:
Substituímos
na equação 3:
Agora, com
, encontramos
:
Agora, substituímos
e
na equação 2:
Percebemos que houve uma inconsistência, indicando que o sistema não tem solução.
Resposta
Não, o vetor
não pertence ao subespaço gerado por
.