Encontrar f^prime(x).
a) f(x)= 1-x & , x <= 0 e^-x & , x>0

Passo 1

O enunciado pede para derivar uma função definida por partes: f(x)=1-x,&x<=0e^-x,&x>0. Vamos usar as regras básicas de derivação (derivada de x, de constantes e de exponencial) e também checar a derivabilidade em x=0.

Passo 2

Para x<0, a função vale f(x)=1-x. Aplicando a regra ddx(1)=0 e ddx(x)=1, obtemos
f'(x)=0-1=-1

Passo 3

Para x>0, a função vale f(x)=e^-x. Usando a regra da cadeia, ddxe^u=e^ucdot u' com u=-x e u'=-1, temos
f'(x)=e^-xcdot(-1)=-e^-x

Passo 4

Agora precisamos checar a derivabilidade no ponto x=0. Calculamos as derivadas laterais:
Para a esquerda ( xto0^-), f'(0^-)= -1.
Para a direita ( xto0^+), f'(0^+)= -e^-0=-1.
Como as duas derivadas laterais coincidem (ambas valem -1), a derivada existe em x=0 e vale -1.

Resposta

f'(x)=-1,&x<=0-e^-x,&x>0

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