Sejam
e
funções tais que
para todo
, e
e
existem para todo
. Mostrar que
Passo 1
O enunciado diz que temos duas funções f e g diferenciáveis em todo x e que a composição f∘g é a função identidade, ou seja, (f∘g)(x)=x. Precisamos usar esse fato para encontrar uma expressão para g′(x) em função de f′.
Passo 2
Para isso, vamos aplicar a regra da cadeia. Lembre que, se h(x)=f(g(x)), então h′(x)=f′(g(x))·g′(x).
Passo 3
Como (f∘g)(x)=x, definimos h(x)=x. Logo, h′(x)=1 para todo x.
Passo 4
Aplicando a regra da cadeia a h(x)=f(g(x)), temos:
Mas também sabemos que (f∘g)’(x)=h′(x)=1, logo
Passo 5
Isolando g′(x), obtemos a fórmula da derivada de uma função inversa.
Resposta
g’(x)=\frac{1}{f’(g(x))}.