Sejam f e g funções tais que (f0 g)(x)=x para todo x, e f^prime(x) e g^prime(x) existem para todo x. Mostrar que

Passo 1

O enunciado diz que temos duas funções f e g diferenciáveis em todo x e que a composição f∘g é a função identidade, ou seja, (f∘g)(x)=x. Precisamos usar esse fato para encontrar uma expressão para g′(x) em função de f′.

Passo 2

Para isso, vamos aplicar a regra da cadeia. Lembre que, se h(x)=f(g(x)), então h′(x)=f′(g(x))·g′(x).

Passo 3

Como (f∘g)(x)=x, definimos h(x)=x. Logo, h′(x)=1 para todo x.

Passo 4

Aplicando a regra da cadeia a h(x)=f(g(x)), temos:
(fcirc g)'(x)=f'(g(x))cdot g'(x)
Mas também sabemos que (f∘g)’(x)=h′(x)=1, logo
f'(g(x))cdot g'(x)=1

Passo 5

Isolando g′(x), obtemos a fórmula da derivada de uma função inversa.

Resposta

g’(x)=\frac{1}{f’(g(x))}.

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