sumk=2^infty 2^k+1+2.7^k9^k

Passo 1

O enunciado pede para calcular a soma infinita S=sumk=2^infty 2^k+1 + 2cdot 7^k9^k. O conteúdo aqui é séries geométricas, e vamos precisar separar a soma em duas partes, cada uma sendo uma soma geométrica reconhecível.

Passo 2

Vamos reescrever S como a soma de duas séries:
S = sumk=2^infty 2^k+19^k + sumk=2^infty 2cdot 7^k9^k

Passo 3

Na primeira série, note que 2^k+1 = 2cdot 2^k, então
sumk=2^infty 2^k+19^k = 2sumk=2^infty l(29r)^k = 2cdot (2/9)^21 - (2/9) = 2cdot 4/817/9 = 863

Passo 4

Na segunda série, temos uma série geométrica com razão 7/9:
sumk=2^infty 2cdot 7^k9^k = 2sumk=2^infty l(79r)^k = 2cdot (7/9)^21 - (7/9) = 2cdot 49/812/9 = 499

Passo 5

Somando as duas partes,
S = 863 + 499 = 863 + 34363 = 35163 = 397

Resposta

dfrac397

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