Encontrar F(t) da equação integral
F(t)=e^-t-2 integral0^t F(beta) cos (t-beta) d beta

Passo 1

A questão dá uma equação integral de Volterra:
Temos F(t) = e^{-t} - 2 \int_{0}^{t} F(β) \cos(t-β),dβ. O conteúdo envolvido é equações integrais de convolução e vamos usar transformada de Laplace para resolver.

Passo 2

Aplicar a transformada de Laplace em ambos os lados. Lembrando que
Le^-t=1s+1,
e para a convolução
Lintegral0^tF(β)cos(t-β),dβ=F(s)cdot ss^2+1

Passo 3

Escrevendo a equação no domínio de s:
F(s)=1s+1-2,F(s)cdotss^2+1
Isolando F(s):
F(s)l(1+2ss^2+1r)=1s+1

Passo 4

Simplificar o fator de F(s):
1+2ss^2+1=s^2+1+2ss^2+1=(s+1)^2s^2+1
Então
F(s)=1s+1cdots^2+1(s+1)^2=s^2+1(s+1)^3

Passo 5

Fazer decomposição em frações parciais:
s^2+1(s+1)^3=(s+1)^2-2(s+1)+2(s+1)^3 =1s+1-2(s+1)^2+2(s+1)^3

Passo 6

Aplicar a transformada inversa de Laplace termo a termo:
L^-1tfrac1s+1=e^-t, L^-1tfrac1(s+1)^2=t e^-t, L^-1tfrac1(s+1)^3=t^22e^-t
Logo,
F(t)=e^-t-2te^-t+2cdott^22e^-t=e^-t(t^2-2t+1)=e^-t(t-1)^2

Resposta

F(t)=e^-t(t-1)^2

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